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Polynôme et anneaux

Posté par
fusionfroide 10-03-08 à 23:08

Salut

On se donne P \in A=\mathbb{Q}[X] de degré 3 irréductible sur \mathbb{Q}

Je dois montrer que si P a une racine dans Q[\sqrt{2}], alors cette racine s'écrit a+b\sqrt{2} avec b\neq 0

Donc déjà, pour moi, p est irréductible si p=ab implique que a \in A^* ou b \in B*

Je n'ai vu que la définition d'irréductibilté, et pas de caractérisation.

Est-ce que cela suffit pour traiter l'exo ?

Merci

Posté par
H_aldnoerre : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:09

Bonsoir.
Une base de \mathbb{Q}[\sqrt{2}] est \{1,\sqrt{2}\}.

Posté par
fusionfroidere : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:10

Certes.

Posté par
fusionfroidere : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:11

A ouais y'a rien à faire en fait !

Bonsoir au fait

Posté par
H_aldnoerre : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:11

Soit donc "a" la racine de P, a dans \mathbb{Q}[\sqrt{2}].
a s'écrit bien comme ci-dessus, non?

Posté par
robby3re : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:11

salut,pour montrer ce que te dis H_aldnoer,
considere la division euclidienne de P...
et aprés tu dis que Q[sqrt(2)] c'est Q[X] sur l'idéal engendré par P.

Bonsoir!

Posté par
H_aldnoerre : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:11

Posté par
H_aldnoerre : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:12

Ou si tu préfères \mathbb{Q}[\sqrt{2}]:=\mathbb{Q}+\sqrt{2}\mathbb{Q}.

Posté par
fusionfroidere : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:16

Oui on a : \mathbb{Q}[X] \approx \frac{\mathbb{Q}[\sqrt{2}]}{(P)}

Salut robby :p

Posté par
fusionfroidere : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:16

Pardon, \mathbb{Q}[\sqrt{2}] \approx \frac{\mathbb{Q}[X]}{(P)}

Posté par
fusionfroidere : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:17

Donc H-aldnoer, n'a-t-on pas plutôt Q[\sqrt{2}] := \mathbb{Q}+P\mathbb{Q}

?

Posté par
H_aldnoerre : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:18

Euh...
\mathbb{Q}[X]/(P(X))\simeq \mathbb{Q}[\sqrt{2}] (avec P(X)=X^2-2)?

Posté par
fusionfroidere : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:18

Enfin je ne vois pas d'où vien ton racine de 2

Posté par
H_aldnoerre : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:19

Tu te trompes dans l'isomorphisme.
C'est K[X]/(P) qui est isomorphe à K[a] si on note P le polynôme minimal de a sur le corps K.

Posté par
fusionfroidere : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:19

j'ai corrigé...

Posté par
fusionfroidere : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:20

Posté par
H_aldnoerre : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:22

Donc c'est ok!
Par définition K[a]={P(a), P(X) dans K[X]}.

Posté par
fusionfroidere : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:22

Je suis d'accord que Q[X]/(P)=Q[V2]  (je mets des = ça va plus vite...) et que (P)=(X²-2)

Donc Q[V2] := Q[X] + PQ[X]

Comment obtients-tu le V2 à la place du P ?

Posté par
H_aldnoerre : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:27

Il faut écrire la division euclidienne.
Quelque soit F(X)\in\mathbb{Q}[X], on a F(X)=P(X)Q(X)+R(X) où P(X)=X^2-2 ; par conséquent deg R<2.
Mais alors F(\sqrt{2})=R(\sqrt{2})=a_0+a_1\sqrt{2} (avec a_i\in\mathbb{Q} )et \mathbb{Q}[V2]:=\{F(\sqrt{2}),\, F(X)\in\mathbb{Q}[X]\}.

Donc \{1,\sqrt{2}\} est génératrice.
Il reste à montrer que c'est une base.
On considère la c.l.n u+v\sqrt{2}=0 pour certain u et v dans \mathbb{Q}.
La polynôme A(X)=u+vX vérifie A(\sqrt{2})=0 donc A(X)\in (P) mais degA<degP donc A=0. D'où le résultat.

Posté par
fusionfroidere : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:34

Merci beaucoup !

Juste une chose : à la fin tu utilises bien le fait que (P) est le plus petit idéal contenant P donc comme deg(A)<deg(P) et que A est dans (P) alors forcément A=0

Posté par
H_aldnoerre : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:40

On a bien A dans (P) ok ? (car il s'annule en sqrt{2})
Ce qui signifie tout simplement que P | A ! (c'est absurde voir le degré)

Posté par
fusionfroidere : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:44

Ah oui c'est plus simple

(ma méthode est bonne aussi non ?)

Une dernière question (car j'ai vu que tu étais occupé sur les transfo de Fourier)

On a bien a-bV2 qui est aussi racine de P dans ce cas ?

Posté par
H_aldnoerre : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:53

Ton résultat est, il me semble, équivalent au mien.
Je ne comprend pas ta dernière question.

Posté par
fusionfroidere : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:55

Bah je voulais savoir si a-bV2 est également une racine de P si a+bV2 en est une dans Q[V2] ?

Posté par
fusionfroidere : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:56

Ce me paraît évident du fait que {1,V2} est génératrice...

Sur ce je dois y aller.

Merci pour ton aide précieuse !
Merci robby aussi

A+

Posté par
H_aldnoerre : Polynôme et anneaux 10-03-08 à 23:59

Mais la racine c'est V2 non ?


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