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Polynome et division euclidienne
Bonjour, j'ai un petit problème de " rédaction " en fait.
on pose P = X3 - X² + X - 1
La question est de montrer qu'il existe un unique polynome Q
[X] et 3 réels uniques an,bn,cn tels que Xn = P(X)Q(X) + an(X²+1) + bn(X-1) + cn.
Mon problème est que pour déterminer an,bn,cn je dois spécialiser P en i,-i et 1 qui sont ses racines, ce qui suppose que P est complexe. Or, il faudrait que j'applique le théorème de la division euclidienne à un polynome P réel, puisque Q, an,bn,cn sont réels... Donc, comment dois - je m'y prendre ?
Bonjour 
S'il existait deux tels polynômes, mettons Q et R, par soustraction on aurait que P*(Q-R) est de degré au plus 2.
Or P est de degré 3, ce qui implique que Q = R donc Q est unique.
Fractal 
Bonjour
La division euclidienne de Xn par P a pour reste un unique polynôme de degré au plus 2, que l'on peut toujours ecrire d'une seule manière sous la forme donnée. Si tu veux faire chic, tu paux dire que (X2+1, X-1, 1) est une base de l'espace des polynômes de degré au plus 2.
Bonjour.
On peut aussi dire : d'après le théorème de la division euclidienne
il existe un unique couple (S,T) tel que Xn = P.S + T, avec T = 0 ou deg(T) < 3.
Donc, T appartient à R2[X].
Or, il est facile de prouver que la famille 1 , X-1 , X²+1 est une base de R2[X].
D'où l'existence et l'unicité de la décomposition de l'énoncé.
Pour trouver effectivement les trois coefficients, il est possible d'utiliser cette égalité dans C[X] et de remplacer X par i sans aucun scrupule.
A plus RR.
Bonjour Camélia et Fractal.
Je suis encore une fois en retard d'une longueur. Heureusement "j'ai fait chic" (sans le deviner).
A plus RR.
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