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polynôme et plan complexe
bonjour,
je voudrais avoir votre avis sur la solution d'un problème.
Voici le problème :
Soit P un espace affine euclidien orienté de dimension 2.
Soit E une partie bornée de P contenant au moins une infinité dénombrable de points.
Soit n > 1. On identifie P au plan complexe par le choix d'un reprère orthonormé direct
du plan noté Oxy.
On définit pour U un polynome unitaire à coef complexes de degré n
où z est l'affixe d'un point de M qui parcourt P.
On définit | U polynome unitaire à coef complexes de degré n
Montrer que ne dépend pas du repère orthonormé direct Oxy choisi.
ma réponse :
Tout ceci est bien défini (...)
il suffit de montrer que ne dépend pas du repère orthonormé direct Oxy choisi. (d'accord ?)
Soit O'x'y' un autre reprère orthonormé direct du plan.
Soit M un point de plan d'affixe z dans Oxy et z' dans O'x'y'.
Le changement de reprère orthonormal s'écrit où
et
complexe. (cours)
Or l'application est une bijection de
dans
Donc donc
ne dépend pas du repère orthonormé direct Oxy choisi.
Qu'en pensez-vous ? Merci.
Bonsoir totomath,
il suffit de montrer que S(E,U) ne dépend pas du repère orthonormé direct Oxy choisi. (d'accord ?)
->D'accord mais je ne suis pas sûr qu'il n'en dépende pas
Ton argument n'est pas correct car z->az+b est une bijection de C sur C mais pas de E sur E.
Imaginons l'exemple simple d'un changément de repère par translation de vecteur i.
Prenons pour E le segment [0;1] de l'axe réel.
Le polynôme U est fixé mais il n'y a aucune raison pour que l'ensemble des U(k+i) coïncide avec l'ensemble des U(k) lorsque k décrit [0;1].
De plus, j'imagine que dans la définition de S(E,U), le point M décrit E, pas P, non?
Tigweg
Ce qui est vrai en revanche, c'est que pour tout complexe a de module 1 et tout complexe b, lorsque U décrit l'ensemble des polynômes unitaires de degré n, le polynôme composé U(az+b) est de degré n et a pour coefficient dominant le complexe an de module 1.
Or on prend l'inf sur l'ensemble des polynômes, c'est là qu'on retombe sur nos pattes.
Tu n'as plus qu'à rédiger ça rigoureusement en montrant l'égalité:
.
Tigweg
Oui, je m'en étais rendu compte... Je me doutais bien que sur ce site quelqu'un aurait répondu assez vite...
Merci Tigweg d'avoir répondu !!
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