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polynôme et valeurs propres (ENS 2013)
Bonjour à tous
Voici le début de l'énoncé de l'exercice 1 du sujet de 2013 de la BLSES
Soit la matrice
A =
2 −1 1
1 0 −1
2 −4 −1
et P le polynôme défini par P(X) = X3 − X2 − 7X + 11. On note par convention P(A) la matrice P(A) = A3 − A2 − 7A + 11I3 où I3 désigne la matrice identité de taille 3 × 3.
1. Calculer A2 et A3, puis vérifier que P(A) est la matrice nulle.
2. Montrer que A est inversible et exprimer A−1 en fonction de A et A2
3. Soit λ ∈ R une valeur propre de A et V un vecteur propre associé. Calculer P(A)V de deux manières pour en déduire que P(λ) = 0.
j'ai réussi les 2 premières question (pour info, je trouve A^-1 = [-1/11 (A^2 - A - 7I)]
Mais la question 3 me pose problème. Je comprends bien le résultat ; il me parait logique que P(λ) = 0 comme λ est valeur propre ; mais on demande après de demander cette équivalence donc je ne peux m'en servire ; je pense alors qu'on doit montrer que P(λ) = P(A)V car il est clair que P(A)V = 0 ; mais je ne sais pas comment montrer cela.
4. Résoudre (L) lorsque λ = 2.
5. En supposant que λ =/= 2, montrer à l'aide de l'algorithme du pivot de Gauss que (L) est équivalent au système
2x −4y −(1 + λ)z = 0
(2 − λ)y +( λ − 1 / 2) z = 0
( cP(λ) / 2 − λ ) z = 0
où c ∈ R est une constante à déterminer.
Par ailleurs, pour la suite de l'exercice, ; encore une fois , je bloque :
à la question 5 : je trouve à la dernière ligne : [(-λ^3 + λ^2 + λ + 8)/ (2λ+4)]z = 0
donc je ne pense pas pouvoir trouver un c donnant ce resultat en le multipliant par P(λ) ; et je ne sais même pas comment obtenir le même dénominateur ? : en divisant par -2 mais du coup je n'aurais q u'à le faire au numérateur aussi? ou bien c'est l'autre membre (0) que je dois aussi multiplier par -1/2 pour que l'égalité reste vraie ?
Désolée pour ces question pourtant élémentaires..
Bonjour,
je pense alors qu'on doit montrer que P(λ) = P(A)V car il est clair que P(A)V = 0
Non, ton égalité est bancale puisqu'à gauche tu as un scalaire et à droite un vecteur !
Que vaut
Pour la suite, qui est "L" ? Tu ne nous l'as pas présenté.
salut
je note k la valeur propre ...
d'une part tu as P(A)v = Ov = 0
d'autre par tu as Av = kv
or
...
ahhh d'accord, merci beaucoup à vous!
Par contre je ne comprends pas très bien pourquoi A^2.V = k^2.V , enfin quelle est la "règle", ou l'explication montrant qu'une matrice au carré fois un vecteur propre est égale à la valeur propre associée au carré fois le vecteur propre?
Je ne sais pas si c'est très clair mais c'est le 'au carré' , au cube ..etc qui me perturbe ;
Et pardon pour l'oubli d'une partie de l'énoncé :
(L) :
(2 − λ)x − y + z = 0
x − λy − z = 0
2x − 4y − (1 + λ)z = 0
, c'est-`a-dire (A − λI3)
.
x
y
z
=
0
0
0
et tu sais que la matrice A représente une application linéaire !! ou même se déduit simplement des règles de calcul avec les matrices ...
et tu sais que la matrice A représente une application linéaire !! ou même se déduit simplement des règles de calcul avec les matrices ...
et tu sais que la matrice A représente une application linéaire !! ou même se déduit simplement des règles de calcul avec les matrices ...
et cela fait du coup A^2v = A(Av) = A(kv) = k^2.v ??
(désolée mais je n'arrive pas à rendre ça bien clair dans ma tête)
et je me permets d'en profiter pour vous poser une autre question (honteuse aussi) ; pour A matrice carrée,
A^3 = A^2.A = A.A^2 ? et c'est du non pas à la commutativité mais à l'associativité du produit matriciel ? (que dcp A^3 = (A.A).A = A.(A.A) ?)
merci encore
parce que
Bonsoir,
ahh, je crois que ça y est! j'ai compris cette étape , super merci
)N'as-tu pas calculé P(A) à la première question ?
Ça serait peut-être une bonne idée de t'en servir.
Oui mais la manière de carpe diem l'utilise déjà non ? que P(A) = 0
Ou peut-être qu'ils attendent une réponse avec la forme matricielle ?
Je te rappelle que le but est de démontrer que . Ne va pas chercher midi à quatorze heures.
Comme tu sais que (la matrice nulle), que peux-tu dire de
?
Comme tu sais que
que c'est aussi égale à la matrice nulle
P(λ) = 0 car AV = λV
je ne perçois pas bien la différence avec la manière de carpediem mais bon si j'ai saisi les éléments principaux je pense que c'est l'essentiel ;
la suite de l'exercice demande
Montrer que si λ est racine de P, alors (L) admet des solutions non nulles.
En conclure que l'ensemble des valeurs propres de A est l'ensemble des racines de P.
il y a une démonstration universelle pour cela vous pensez ou adaptable à chaque exercice ? car j'ai personnellement simplement appris cela comme un résultat de cours
La justification que tu donnes ne va pas du tout !
P(λ) = 0 car AV = λV
Récapitulons :
D'un côté, tu montres que
De l'autre tu montres que
Conclusion ?
Récapitulons :
D'un côté, tu montres que
De l'autre tu montres que
Conclusion ?
Ah oui mais alors je pense que c'est la même manière que carpediem donnait et deux manières différentes étaient demandées dans l'énoncé
salut
je note k la valeur propre ...
d'une part tu as P(A)v = Ov = 0
d'autre par tu as Av = kv
or
...
Et pardon pour (L), il est ici :
(L) :
(2 − λ)x − y + z = 0
x − λy − z = 0
2x − 4y − (1 + λ)z = 0
, c'est-`a-dire (A − λI3)
.
x
y
z
=
0
0
0
ben oui !!
premier calcul : P(A) = O donc P(A)v = Ov = 0
deuxième calcul : Av = kv donc P(A)v = P(k)v
conclusion : P(k)v = 0 donc P(k) = 0
ensuite pour le système : quelle que soit la valeur de k tu cherches à résoudre le système : Av = kv qui est équivalent à (A - I) v = 0
donc deux cas : k est valeur propre de A <=> k est racine de P ou non ...
premier calcul : P(A) = O donc P(A)v = Ov = 0
deuxième calcul : Av = kv donc P(A)v = P(k)v
conclusion : P(k)v = 0 donc P(k) = 0
Navrée !! C'est la question que j'avais mal lu, je pensais qu'il fallait utiliser deux méthodes pour montrer P(k) = 0 , désolée, du coup oui parfait c'est niquel merci !
Donc je peux chercher l'ensemble des valeurs propres et l'ensemble des racines puis conclure que ce sont les mêmes ?
inutile de citer les msg ...
ben il n'y a pas besoin !! tu viens de prouver que ces deux ensembles sont les mêmes ...
donc pour avoir les valeurs propres de A il suffit (puisqu'il y a équivalence) de déterminer les racines de P ...
enfin où P(x) = det (A - xI) ...
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