Bonjour,
Un polynome reductible n'a pas forcément de racine...
Pour répondre à la question regarde le pgcd de P et P'

Merci pour la rapidité
Qu'est-ce que tu appelles P' ?
J'ai un peu chercher avec le PGCD mais sans succès

P', c'est la dérivée de P.

or  le degré de P' = degré de P  -1

merci mais je vois toujours pas...
Tout ce à quoi j'arrive c'est des résultats dans C qui me servent pas à grand chose

Si P a une racine double dans C alors P et P' ont une racine commune et donc ne sont pas premiers entre eux, mais degP'<degP

Oui mais la racine commune est dans C non ?
Je vois pas comment lier ça à une propriété dans K :s

Le pgcd ne dépend sur corps sur le quel on le calcule...

Ah d'accord merci beaucoup

Bonjour

Supposons (par l'absurde) que
P(x) = (x - a)²Q(x), a étant une racine double complexe de P dans C.
alors
P'(x) = 2(x - a)Q(x) + (x - a)²Q'(x) = (x - a)[2Q(x) + (x - a)Q'(x)]
Donc P'(x) est divisible par x - a.

Toutes ces égalités ont lieu dans C[X], mais :

Soit S le PGCD de P et P'. Il est divisible par x - a, donc est de degré supérieur ou égal à 1, et il divise P' donc il est de degré strictement inférieur à celui de P.

Or, comme P et P' sont dans K[X], il en est de même de S (l'algorithme d'Euclide ne fait pas sortir de K[X]).
Donc P est divisible dans K[X] par S, non constant et de degré strictement inférieur à celui de P. Il est donc réductible dans K[X]. Contradiction.

Cordialement
Frenicle

Par bezout  il existe  A  et  B dans le petit corps tels que  AP+ bP' =1  c'est dur alors d'avoir une racine commune