Bonjour

NON. Un polynôme de degré 5 peut être réductible sur un corps même s'il n'a pas de racine dans ce corps. Néanmoins, un polynôme de degré 5 a toujours une racine réelle, et se décompose au pire en polynômes irréductibles du second degré sur R. Alors, va savoir... Et si tu le mettais, le polynôme...

Salut FF

Pas du tout, considère par exemple .

Il n'est pas irréductible, pourtant ses seules racines réelles sont des racines carrées et cubiques de 3, et aucune n'est dans ton corps de base.

Il n'y a que dans un anneau intègre qu'un polynôme de degré 3 (ou moins) n'admet aucune racine si et seulement s'il y est irréductible.

Tigweg

""Il n'y a que dans un anneau intègre qu'un polynôme de degré 3 (OU MOINS) n'admet aucune racine si et seulement s'il y est irréductible""

j'adore quand les gens tombent dans ce piège , je signale en effet que les polynômes de degré 1 sont irréductibles bien qu'ils aient une racine dans le corps des fractions

Oui c'est vrai, disons de degré 3 ou 2 alors

tout à fait

Salut Tigweg,

Bon précisemment, qu'est-ce qu'une polynôme irréductible sur un anneau A[X] ?

Ok pour ton exemple : ton polynôme n'admet pas de racine dans Q, mais il est réductible dans Q

Au fait, quel est le rapport avec un élément p irréductible ?

p est irréductible si p=ab implique a dans A* ou b dans A*

C'est un polynôme et qui n'admet aucun autre diviseur dans A[X] que lui-même et les unités de l'anneau A.

Ah ok je comprends mieux alors !

enfin plutôt que les polynômes qui lui sont associés (soit P multiplié par les unités de A) et les unités de A.

salut,
en générale les irréductibles de A[X],c'est les irréductibles de A et les polynomes primitifs irréductibles de K[X] ou K=Frac(A).
(sauf erreur )

et au fait mon exo sur l'irréductibilité dans Z[X]  de
X¹³- 45 X³+ X - 65537  personne ne l'a fait ? (j'ai perdu le fil en question)

Tu de demandes vraiment pourquoi?

bon alors une indication :  supposez une décomposition et regardez les termes constants ....

Bon je donne la solution ?  ou une autre indication ?

perso,j'ai pas trouvé...
si quelqu'un a des trucs...

Ah tiens, presque oublié celui-là. J'essaie cet aprèm. Je veux bien un autre indice dans la soirée ceci dit.

alors : remarquez que les racines complexes sont forcément de module >1.

Oui, ça c'est facile à prouver mais bon, je vois pas trop le rapport. Tu veux pas préciser un peu (à moins donner d'autres précisions c'est donner la réponse, sure )?

ben disons que ça marche pour tout polynôme unitaire de  Z[X]  dont le terme constant est  un nombre premier de  Z  de valeur absolue strictement plus grande que la somme des autres coefficients.

s'il y a une décomposition Q(X)R(X)  il y en a une unitaire dans  Z[X] et on peut regarder les termes constants

Ah oui d'accord, je crois que je vois là où tu veux en venir! Vais voir ça.