Bonjour,
J'ai quelques exemples de polynomes minimaux à trouver ou à demontrer et je rencontre quelques soucis à prouver qu'ils sont minimaux.  Voici l'énoncé de mon exercice :
1. IK = IR, A = C. Donner un polynôme annulateur de i et donner le polynôme minimal de i.
2. IK = IR, A = C. Montrer que tout u ∈ C admet un polynôme annulateur non nul. Montrer que le polynôme minimal de u
est irréductible dans IR[X]. En déduire l'expression de ce polynôme minimal en fonction de u.
3. IK = Q, A = Q(√2). Montrer que le polynôme minimal de √2 est :
X² − 2
4. IK = IK, A = IK[X]. Donner un élément u ∈ A qui n'a pas de polynome annulateur non nul. Donner une condition
nécessaire et susante sur u pour que u en admette un.
5. IK = IK, A = L(IK²). Soit u : IK² → IK²
défini par u(a, b) = (b, a). Montrer que X² − 1 est le polynôme minimal de u.
6. IK = IR, A = L(IR2). Donner une application linéaire dont le polynome minimal est X² + 1

Pour la 1 j'ai trouvé X²+1 et pour le prouver je suis passé par l'absurde en supposant un minimal d'ordre 1, conclu que c'était X-i or i n'est pas un réel donc c'est absurde.  Je ne suis pas sur que cela marche ?
Pour la 2 j'ai posé X² - 2Re(u)X + Re(u)² + Im(u)² grace aux conjugués.  Pour prouver qu'il est irréductible j'ai calculé le discriminant, et pour prouver qu'il est minimal je ne sais pas comment procéder.
Pour la 3 je suis passé par l'absurde en supposant que X²-2 n'était pas minimal, ainsi il est multiple du minimal. J'ai mis sous forme irreductible et conclu que c'etait X-√2 absurde car √2 n'est pas un rationnel.
Pour la 4 j'ai l'intuition que seulement les constantes auront des polynomes annulateur non nul, mais je n'arrive pas à le prouver.
Pour la 5 je ne sais pas comment aboutir à une contradiction en passant par l'absurde.
Pour la 6 je pense que u(a,b) = (-b,a) pourrait fonctionner mais il faut encore une fois prouver qu'il est minimal.
Je m'excuse du post un peu long mais c'est une notion nouvelle jamais vue en cours. N'y aurait t-il pas une méthode générale pour prouver qu'il est minimal ?
Merci d'avance.