déjà P(1)=P(-1) indique que le polynôme est paire.
Alors ton polynôme est de la forme:

P(x)=ax^(2n)+c

Mais as tu le degré du polynôme?

P(0)=1 indique que P(x)=ax^(2n)+c
c=1

Si on suit l'idée de Saintcharles, on obtient

La somme des coeffients Ai doit être égale à 1

C'est bien ce que j'ai écrit!

Je pense qu'on ne peut pas aller plus loin.

C'est à dire obtenir quelque chose de moins restrictif encore? T'as des idées?

Mais j'ai une nouvelle idée.
P(x)=x²-x^3+x^5+....+1

P(x)=x^n-ax+ax^3-bx^5+bx^7+...1

P(x)=x^2n-ax+ax^3-bx^5+bx^7+...1

Bonsoir,

Il y a un unique polynôme de degré strictement inférieur à 3 vérifiant ces conditions, c'est X²+1.
C'est le polynôme d'interpolation de Lagrange associé à ces conditions.
Les polynômes répondant à la question sont donc les P(X)=X²+1+X(X²-1)Q(X) où Q(X) est un polynôme quelconque.

Ouais mais là il y a pleins de cas; parce que on peut permuter les puissances, et devant c est et non

Oui, tu as raison Yann.

Je crois qu'il n'y a pas une forme générale!

Voila ce que j'avais trouvé :

de degré 0 il n'y en a aucun, pas plus de degré 1.
de degré 2 il y en a un unique, le polynôme d'interpolation de Lagrange X²+1

Pour aller plus loin j'ai donc poser
et essayé d'établir des relations entre coefficients qui n'ont pas réellement abouti à une forme exacte de polynôme...

Pouvez-vous m'aider à m'éclaircir les idées, je suis d'accord avec jandri bien évidemment mais pour ce qui est de saintcharles et yann63, comment aboutir dans ces relations? Notamment je ne comprend pas le post de 21:50 !

Dans le post de 21h50 on a bien un polynôme qui vérifie les conditions demandées:
si alors P(0)=1 et P(1)=P(-1)=2.

On n'obtient pas ainsi tous les polynômes mais seulement ceux qui sont pairs.

Pour obtenir tous les polynômes il faut écrire:
avec .

Merci jandri

En fait j'ai une autre question.
Comment est-ce que je sais que j'ai tous les polynômes là ?

C'est très simple:
vérifie les conditions si et seulement si s'annule en 0, 1 et -1, donc si et seulement si il est divisible par .