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polynômes

Posté par Guizmo (invité) 05-10-05 à 15:24

Bonjour, je re-poste pour un re-exercice de DM que je re-n'arrive pas à résoudre :
Soit n un entier naturel non nul fixé. On pose, pour tout z, S(z)=(k=0 à n-1)de z^(2k)
1) Résoudre l'équation z^(2n)-1=0. Que peut-on dire de l'ensemble En des images de ses solutions dans le plan affine euclidien orienté P rapporté à un repère orthonormé direct représantant géométriquement

Posté par Guizmo (invité)re : polynômes 05-10-05 à 15:40

OUPS...
Fausse manoeuvre, la suite :
Montrer que les droites (Ox) et (Oy) sont axes de symétrie de En. Dessiner E3.
2) Montrer que pour tout z\{-1,1}, S(z)=((z^(2n))-1)/((z^2)-1), puis en considérant ses racines, que pour tout z\{-1,1}, S(z)=(k=1 à n-1) de ((z^2)-2*z*cos(k/n)+1). Justifier l'égalité aux points -1 et 1.
3) En considérant S(1) et S(i), calculer les produits (k=1 à n-1) de sin(k/2n) et (k=1 à n-1) de cos(k/n) en fonction de n.
4) Montrer que pour tout z, (k=0 à n-1) de z^(4k) = (k=1 à n-1) de (((z^2)-2*i*z*sin(k/2n)*z-1)*((z^2)+2*i*z*sin(k/2n)-1))
Voilà c'est le seul exercice que je n'arrive pas à résoudre. D'avance merci aux personnes qui pourront m'aider.

Posté par Guizmo (invité)polynômes 05-10-05 à 18:15

Bonjour, je re-poste pour un re-exercice de DM que je re-n'arrive pas à résoudre :
Soit n un entier naturel non nul fixé. On pose, pour tout z, S(z)=(k=0 à n-1)de z^(2k)
1) Résoudre l'équation z^(2n)-1=0. Que peut-on dire de l'ensemble En des images de ses solutions dans le plan affine euclidien orienté P rapporté à un repère orthonormé direct représantant géométriquement . Montrer que les droites (Ox) et (Oy) sont axes de symétrie de En. Dessiner E3.
2) Montrer que pour tout z\{-1,1}, S(z)=((z^(2n))-1)/((z^2)-1), puis en considérant ses racines, que pour tout z\{-1,1}, S(z)=(k=1 à n-1) de ((z^2)-2*z*cos(k/n)+1). Justifier l'égalité aux points -1 et 1.
3) En considérant S(1) et S(i), calculer les produits (k=1 à n-1) de sin(k/2n) et (k=1 à n-1) de cos(k/n) en fonction de n.
4) Montrer que pour tout z, (k=0 à n-1) de z^(4k) = (k=1 à n-1) de (((z^2)-2*i*z*sin(k/2n)*z-1)*((z^2)+2*i*z*sin(k/2n)-1))
Voilà c'est le seul exercice que je n'arrive pas à résoudre. D'avance merci aux personnes qui pourront m'aider.

PS : pour les administrateurs, j'ai mal posté au début et vous trouverez le même poste dans la section terminale. Je sais que faire ça ça surcharge le serveur, mais j'ai préféré le bouger de place. Si vous pouviez supprimer celui qui est dans la section terminale SVP merci.

*** message déplacé ***

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:polynômes 06-10-05 à 04:27

Bonsoir Guizmo;
1) les solutions de l'équation 2$\fbox{z^{2n}=1} sont les racines 2n-ièmes de l'unité:3$\fbox{z_k=e^{\frac{2ik\pi}{2n}}=e^{\frac{ik\pi}{n}}\\k\in\{0,1,..,2n-1\}}.
3$\fbox{E_n=\{M_k(z_k)/k=0,..,2n-1\}} est un polygone regulier à 2n cotés inscrit dans le cercle unité.Vu que si z est racine 2n-ième de l'unité,il en est de mm pour \pm\bar{z} on a que E_n est symétrique par rapport à (Ox) et (Oy).Pour le dessin de l'hexagone E_3 voir image attachée.
2) pour z\neq\pm1 s(z)=\Bigsum_{k=0}^{n-1}(z^2)^k est la somme des n premiers termes de la suite géométrique de 1ér terme 1 et de raison z^2\neq1 on a donc que:
3$\fbox{S(z)=\frac{z^{2n}-1}{z^2-1}} et vu que les racines de S(z) sont les racines 2n-ièmes de l'unité autres que \pm1 on a
3$\fbox{S(z)=\Bigprod_{0\le k\le2n-1\\k\neq0,n}(z-z_k)=\Bigprod_{k=1}^{n-1}(z-z_k)\times\Bigprod_{k=n+1}^{2n-1}(z-z_k)} et vu que 3$\fbox{\forall k\in\{1,..,n-1\}\\z_{2n-k}=\bar{z_k}} il vient que:
3$\fbox{S(z)=\Bigprod_{k=1}^{n-1}(z-z_k)(z-\bar{z_k})=\Bigprod_{k=1}^{n-1}(z^2-(z_k+\bar{z_k})z+|z_k|^2) c'est à dire que:
3$\fbox{S(z)=\Bigprod_{k=1}^{n-1}(z^2-2cos(\frac{k\pi}{n})z+1) égalité vraie pour z\in\mathbb{C}-\{-1,1\}
justification de l'égalité en \pm1:
Quand z prend les valeurs réelles,S(z) est une fonction polynomiale d'une variable réelle donc continue et vu qu'elle est en plus paire on a
3$\fbox{S(-1)=S(1)=\lim_{z\to1}S(z)=\Bigprod_{k=1}^{n-1}(2-2cos(\frac{k\pi}{n}))=(2^{n-1}\Bigprod_{k=1}^{n-1}sin(\frac{k\pi}{2n}))^2}.
3) vu que S(1)=n on a que:
4$\blue\fbox{\Bigprod_{k=1}^{n-1}sin(\frac{k\pi}{2n})=\frac{sqrt{n}}{2^{n-1}}}
pour z=i on a d'une part 3$\fbox{S(i)=\Bigsum_{k=0}^{n-1}(-1)^k=\frac{1-(-1)^n}{2}} et d'autre part:
3$\fbox{S(i)=\Bigprod_{k=1}^{n-1}(-2icos(\frac{k\pi}{n}))=(-2i)^{n-1}\Bigprod_{k=1}^{n-1}cos(\frac{k\pi}{n})} d'où:
4$\blue\fbox{\Bigprod_{k=1}^{n-1}cos(\frac{k\pi}{n})=\{{0\hspace{5}si\hspace{5}n\hspace{5}pair\\(-\frac{1}{4})^{\frac{n-1}{2}}\hspace{5}si\hspace{5}n\hspace{5}impair}.
4) 3$\fbox{\Bigsum_{k=0}^{n-1}z^{4k}=S(z^2)=\Bigprod_{k=1}^{n-1}(z^4-2cos(\frac{k\pi}{n})z^2+1)} et vu que:
3$\fbox{z^4-2cos(\frac{k\pi}{n})z^2+1=(z^2-1)^2+2z^2(1-cos(\frac{k\pi}{n}))= (z^2-1)^2+4z^2sin^2(\frac{k\pi}{2n}))=(z^2-1)^2-(2izsin(\frac{k\pi}{2n}))^2}
on voit que finalement on a bien:
4$\blue\fbox{\Bigsum_{k=0}^{n-1}z^{4k}=\Bigprod_{k=1}^{n-1}(z^2+2isin(\frac{k\pi}{2n})z-1)(z^2-2isin(\frac{k\pi}{2n})z-1)}.

Sauf erreurs bien entendu


*** message déplacé ***

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:polynômes 06-10-05 à 04:44

le dessin de E_3:

re:polynômes

*** message déplacé ***

Posté par Guizmo (invité)re : polynômes 06-10-05 à 11:45

Une fois de plus, merci beaucoup.

*** message déplacé ***

Posté par Guizmo (invité)re : polynômes 07-10-05 à 15:12

Par contre je viens de remarquer "posté le 06/10/2005 à 04:44". C'est pas un peu tard? Inutile de faire un remake de nuit blanche.

*** message déplacé ***


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