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Polynômes

Posté par
matheux14 06-12-21 à 20:47

Bonsoir,

Merci d'avance.

Soit P= a_0 +a_1 X + \dots + a_n X^n un polynôme à coefficients entiers.

Montrer que si P admet une racine rationnelle \dfrac p q avec p et q entiers et pgcd(p , q) = 1, alors p divise a0 et q divise an.

Réponses

P admet \dfrac p q , p ^ q = 1 comme racine \iff \forall n \in \N^* ; a_0 + a_1 \left(\dfrac p q \right)+ \dots + a_n \left(\dfrac p q \right)^n = 0

\iff a_0 = -\left[a_1 \left(\dfrac p q \right)+ \dots + a_n \left(\dfrac p q \right)^n  \right]

\iff a_0 = -p^n \left[\dfrac{a_1}{qp^{n-1}} + \dots + \dfrac{a_n}{q^n} \right]

Maintenant je dois montrer que \left[\dfrac{a_1}{qp^{n-1}} + \dots + \dfrac{a_n}{q^n} \right] est un entier en montrant que qpn-1 | a1 et que qn | an mais je ne vois pas vraiment.

Une piste ?

Posté par
larrechre : Polynômes 06-12-21 à 21:05

Bonjour,

On peut remarquer que

a_0q^n+a_1q^{n-1}p+\dots a_n p^n=0

Posté par
bernardo314re : Polynômes 06-12-21 à 21:05

Bonsoir,

écris une égalité entre entiers en chassant les dénominateurs.

Posté par
matheux14re : Polynômes 06-12-21 à 21:22

larrech @ 06-12-2021 à 21:05

Bonjour,

On peut remarquer que

a_0q^n+a_1q^{n-1}p+\dots a_n p^n=0


Donc a_0 = -p \left[ a_1 q^{-1} + \dots + a_n p^{n-1} q^{-n} \right] est un entier ?

Posté par
larrechre : Polynômes 06-12-21 à 21:34

a_ 0   est un entier, p aussi et entre crochets, c'est une somme de produits d'entiers.

Posté par
matheux14re : Polynômes 06-12-21 à 21:37

Si q est un entier alors q-n n'est pas un entier pour tout n ≥ 1  non ?

Posté par
larrechre : Polynômes 06-12-21 à 21:44

Aïe j'ai mal lu j'en était resté à

a_0q^n+a_1q^{n-1}p+\dots a_n p^n=0 dont on tire

a_ 0 q^n= -p[a_ 1 q^{n-1}+a_ 2 p q^{n-2}+\dots+a_ n p^{n-1}]

et c'est ça que j'avais cru lire...

Posté par
matheux14re : Polynômes 06-12-21 à 22:00

Du coup c'est plutôt a0qn qui divise p..

Posté par
larrechre : Polynômes 06-12-21 à 22:05

Non, déjà q ne divise certainement pas p..

Par contre p divise le second membre...

Posté par
matheux14re : Polynômes 06-12-21 à 22:09

Oups, je voulais dire

Citation :
Du coup c'est plutôt p qui divise a0qn ..

Posté par
larrechre : Polynômes 06-12-21 à 22:19

Oui, p divise nécessairement a_0q^n

Posté par
matheux14re : Polynômes 06-12-21 à 22:27

Du courage il s'agit d'une erreur de la part de l'énoncé ?

Posté par
larrechre : Polynômes 06-12-21 à 22:30

???

Posté par
matheux14re : Polynômes 06-12-21 à 22:37

x \equiv -1655318 [2013]

C'est affreux

Posté par
larrechre : Polynômes 06-12-21 à 22:44

Tu dois te tromper de sujet là.

Posté par
matheux14re : Polynômes 06-12-21 à 23:38

Oups

Posté par
matheux14re : Polynômes 06-12-21 à 23:39

matheux14 @ 06-12-2021 à 22:27

Du coup il s'agit d'une erreur de la part de l'énoncé ?

Posté par
larrechre : Polynômes 07-12-21 à 08:07

Il n'y a pas d'erreur d'énoncé, p est premier avec q, donc...

Posté par
matheux14re : Polynômes 08-12-21 à 07:57

Merci, j'ai pu faire,

Posté par
larrechre : Polynômes 08-12-21 à 08:43

Parfait. Et sinon, tu as abandonné les courbes  en polaires ?

Posté par
matheux14re : Polynômes 08-12-21 à 11:15

Non, j'ai pu faire aussi.

C'est juste que çà coince un peu en classe..

Posté par
larrechre : Polynômes 08-12-21 à 12:37

Alors accroche-toi et bon courage.


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