Bonjour matheux14,

peux-tu dire quels sont les diviseurs du polynôme X²+X+1 dans R[X] ? A partir de la décomposition que tu as donné de X^3 + 1, que peux-tu en déduire sur les diviseurs communs de ces deux polynômes ?

Les diviseurs de X²+X+1 dans R[X] sont -1 ; 1 ; -(X²+X+1) et X²+X+1

X³ + 1 = (X + 1) (X² -X+1)

Les diviseurs de X³ + 1 sont : -1 ; 1 ;  X + 1 ; -(X + 1) ; X² -X+1 et -(X² -X+1)

Du coup les diviseurs communs des deux polynômes sont -1 et 1.

oui pour les diviseurs, mais on pourrait justifier un tout petit peu pour le premier polynôme (admet-il des racines réels ? qu'est-ce que ça voudrait dire ? etc...)

ok pour les diviseurs communs, ça montre bien qu'ils sont premiers entre eux, y a plus qu'à continuer ! tu bloquais sur d'autres questions ?

Oui, les deux dernières questions

ok, pour la (4), il est peut-être bon de rappeler qui sont les irréductibles dans R[X], tu verras que tu as déjà la décomposition voulue pour l'un des éléments

on peut trouver la décomposition du second avec le travail déjà fait dans les questions précédentes, comment peut-on se ramener à un polynôme des questions précédentes ?

enfin quand tu as la décomposition en éléments irréductibles de deux éléments a et b dans un anneau factoriel, tu dois savoir comment écrire leur pgcd et leur ppcm

(c'est le même principe que dans Z lorsque l'on a la décomposition en éléments premiers de deux entiers)

merci carpediem de me corriger, je me suis restreint à des polynômes unitaires et leurs opposés, tu peux continuer s'il-te-plaît ? je pars pour aujourd'hui... (encore merci !)

bonne journée

Pour la question précédente ; l'énoncé nous donne qu'on doit utiliser pour montrer que et sont premiers entre eux.

Mais nous on donne juste les diviseurs des deux polynômes.. y a quelque chose qui ne colle pas non ?

connaissant les diviseurs des deux polynomes il est aisé d'en déterminer le pgcd ...

D'accord, mais comment montrer que 1 est le plus grand de tous ces diviseurs ?

Et comment caractériser les infinités de diviseurs dans R[X] dont vous parliez ?

   Deux éléments de K[X] sont dits premiers entre eux si  les diviseurs communs sont les polynômes  de degré 0 .
    Ici , si P divise  (X² + X + 1) et X ³ +1  il divise    (X - 1)(X² + X + 1) et X ³ +1 càd  X ³ - 1 et X ³ +1 donc aussi (X ³ + 1)  -( X ³ -1) = 2 .