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Polynômes

Posté par
Kekeee 12-01-22 à 21:42

Bonsoir tout le monde j'aurais besoin d'un peu d'aide pour l'exercice suivant:

Soit P=\sum_{k=0}^{2n}{X^k}.

Montrer que P(X) divise P(X2).

L'indication donnée était d'utiliser la formule de factorisation an-bn

Cependant je ne vois pas comment l'utiliser ici, et je ne vois pas très bien comment m'y prendre pour débuter . Merci

Posté par
larrechre : Polynômes 12-01-22 à 21:58

Bonjour,

L'indication incite à regarder  ce que donnerait P(X^2)-P(X)

Posté par
Foxdevilre : Polynômes 12-01-22 à 22:02

Bonsoir,

En utilisant la formule de sommation de suites géométriques

Posté par
verdurinre : Polynômes 12-01-22 à 22:03

Bonsoir,
en regardant le cas n=2 on a

P(X)=X^4+X^3+X^2+X+1

P(X^2)=X^8+X^6+X^4+X^2+1

P(X^2)-P(X)=(X^8-X^4)+(X^6-X^3)+(X^4-X^2)+(X^2-X)

Posté par
Kekeeere : Polynômes 12-01-22 à 22:23

Ah d'accord! C'est bien ce que j'ai fait alors mais je ne comprenais pas l'intérêt. En faisait  P(X2)-P(X) j'obtiens:

(X-1)\sum_{k=0}^{2n}{X^k}\sum_{i=0 }^{k-1}{X^i}

Posté par
Razesre : Polynômes 12-01-22 à 22:45

Bonsoir,

Je penche  vers ce que propose Foxdevil:

P(X)=\sum_{k=0}^{2n}X^{k}=\dfrac{X^{2n+1}-1}{X-1};

P(X^2)=\sum_{k=0}^{2n}X^{2k}=\dfrac{X^{4n+2}-1}{X^2-1}= ... Continuer la factorisation.


La seconde que je préfère est le passage par les racines de l'unité : \omega _k=e^{i\frac{2k\pi }{n}}

Mais toute les deux sont importantes à connaitre.

Posté par
Kekeeere : Polynômes 12-01-22 à 22:46

J'ai juste un doute sur la borne k-1 mais sinon si c'est juste alors je peux passer P(X) à droite dans l'égalité et remarquer que on retrouve aussi P(X) dans l'expression trouvée et on peut donc factoriser P(X) dans le terme de droite..

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynômes 12-01-22 à 22:50

Bonsoir

En suivant l'idée de Foxdevil :

\Large \boxed{P(X)=\sum_{k=0}^{2n}X^k=\frac{X^{2n+1}-1}{X-1}},

\large \boxed{P(X^2)=\frac{(X^2)^{2n+1}-1}{X^2-1}=\frac{(X^{2n+1})^2-1}{X^2-1}=\frac{(X^{2n+1}-1)(X^{2n+1}+1)}{(X-1)(X+1)}=\frac{X^{2n+1}+1}{X+1}P(X)}

\large \boxed{\frac{X^{2n+1}+1}{X+1}=\frac{X^{2n+1}-(-1)^{2n+1}}{X-(-1)}=\sum_{k=0}^{2n}(-1)^kX^{2n-k}} sauf erreur bien entendu

Posté par
Razesre : Polynômes 12-01-22 à 22:58

Bonsoir elhor_abdelali

On s'attendait à ce que ce soit Kekeee qui continuerait la factorisation.

T'inquiètes, de ton coté il n y a pas d'erreur.

Posté par
Kekeeere : Polynômes 12-01-22 à 23:07

J'avais fait de mon côté ne vous inquiétez pas tout est ok merci beaucoup!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynômes 12-01-22 à 23:14

Kekeee a écrit :

Citation :
L'indication donnée était d'utiliser la formule de factorisation an-bn


c'est justement ce qu'on a utilisé pour montrer que la fraction \small \frac{X^{2n+1}+1}{X+1} est bien un polynôme.


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