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Polynômes
Bonjour tout le monde.
J'ai une petite hésitation sur une question que voilà.
On considère la fonction
1. Démontrer que pour tout n dans 
, il existe un polynôme Pn tel que:
x
,
2. Montrer que pour tout n dans :
Pn(i)
0
3. Montrer que la famille (f(n))n est une famille libre de F(,).
Alors voilà pas trop de difficulté sur les 2 premières par récurrence mais j'hésite sur la 3eme. Je prends des coefficients a0,…,an tels que la somme des CL des f(n) soit nulle mais j'ai du mal à montrer que les a0,..,an sont tous nul. J'avais pensé à une récurrence encore et dans mon hérédité me servir de la question 2 pour dire que Pn n'était pas le polynôme nul, mais je ne crois pas que cela puisse me mener quelque part.
Merci pour votre aide!
Bonjour,
oui si tu écris pour tout x
et que tu multiplies par (1+x²)n+1 tu es devant une somme de polynômes nulle pour tout x. regarde ce que ça donne si on fait x=i ? (et utilise 2))
Ah je vois! Ça me donne an=0 et après je réitère n fois jusqu'à avoir a0=0! Mince je me suis bloqué l'esprit.
Pour le mettre en forme je peux l'écrire comme ça ou par une récurrence?
Et je me demandais aussi si en évaluant en i on aurait bien le résultat pour les fonctions de R dans R?
oui an = 0 et après tu expliques que l'on peut mettre (1+x²) en facteur et le simplifier et que de faire x=i donnera an-1 = 0 et que de proche en proche on peut donc démontrer que tous les coefficients sont nuls.
oui de faire x = i est juste un artifice de démonstration et n'a pas de lien avec le fait que les f(n) sont bien des fonctions de dans .
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