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Polynômes
Bonsoir,
J'ai abordé un exo et je crois avoir été trop loin je ne suis pas sûr de ma résolution si je peux avoir quelques indications j'en serais reconnaissant :
L'énoncé est le suivant: Soit P(X) = de degré
Montrez que P n'a pas de racine double.
Raisonnement par l'absurde:
Supposons que P possède une racine double a alors:
donc il existe un polynôme Q tel que avec deg(Q) = n - 2
Dès lors,
et
après développement grâce à Leibniz on se retrouve avec :
car Q dérivé n fois et Q dérivé n-1 fois sont les polynômes nuls.
Alors, c'est ici que je ne suis plus sûr car rien n'oblige Q d'être unitaire n'est ce pas ? Donc soit il est unitaire et on a et dès lors on aboutit à une contradiction car les racines de cette équation ne sont pas dans N
ou alors,
je me retrouve avec des racines de la forme :
Le problème est que je n'arrive pas à montrer que ces deux racines ne sont pas dans N pour aboutir à la contradiction du fait qu'un degré est forcement positif.
Je vous remercie de votre lecture !
Bonsoir,
un résultat utile : si un polynôme P a une racine double alors c'est aussi une racine de P'.
mkzpr0
Bonsoir,
J'ai abordé un exo et je crois avoir été trop loin je ne suis pas sûr de ma résolution si je peux avoir quelques indications j'en serais reconnaissant :
L'énoncé est le suivant: Soit P(X) =
Montrez que P n'a pas de racine double.
Raisonnement par l'absurde:
Supposons que P possède une racine double a alors:
donc il existe un polynôme Q tel que
Dès lors,
et
après développement grâce à Leibniz on se retrouve avec :
Alors, c'est ici que je ne suis plus sûr car rien n'oblige Q d'être unitaire n'est ce pas ? Donc soit il est unitaire et on a
ou alors,
je me retrouve avec des racines de la forme :
Le problème est que je n'arrive pas à montrer que ces deux racines ne sont pas dans N pour aboutir à la contradiction du fait qu'un degré est forcement positif.
Je vous remercie de votre lecture !
Bonsoir,
un résultat utile : si un polynôme P a une racine double alors c'est aussi une racine de P'.
Je vous remercie de votre réponse mais je ne vois pas ce que je peux en faire ?
Ah en effet,
En évaluant en la racine a, on a directement une contradiction car pour tout n dans N,
Pensez vous qu'il faut plus justifier?
D'ailleurs ma méthode de résolution ne fonctionnerait pas ?
Je crois qu'il faut au moins dire que P(0)=1
0.
Après je ne sais pas ce que tu as écrit comme justification.
Sinon il est possible que l'on puisse conclure avec ta méthode de départ.
Bonsoir,
Je pense qu'il manque qlq chose dans le raisonnement.
Nous avons:
Avec le raisonnement par l'absurde, tu as: tel que
avec
Avec :
Donc:
Par identification le coefficient du plus haut degré du polynôme
est
Après cela on applique le développement de Leibniz, en continuant le calcul on arrivera à une absurdité.
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