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Polynômes caractéristiques et matrices

Posté par
Aerobi 15-08-11 à 11:45

Bonsoir j'ai une question qui me pose un problème. Je vous remercie d'avance pour l'aide apportée!

Soient A et B \normalsize \in M_n(\mathbb{C})

a) Montrer que si A ou B est inversible, alors AB et BA ont même polynôme caractéritiques.

Si \normalsize A\in GL_n(\mathbb{C}) alors \normalsize BA=A^{-1}ABA. Donc AB et BA sont semblables donc AB et BA ont même polynôme caractéristique.
De même si \normalsize B\in GL_n(\mathbb{C}).

b)On note \large M=$\begin{pmatrix}BA&-B\\0&0\end{pmatrix}$, \large N=$\begin{pmatrix}0&-B\\0&AB\end{pmatrix}$, \large P=$\begin{pmatrix}I_n&0\\A&I_n\end{pmatrix}$ \normalsize \in M_{2n}(\mathbb{C}). Vérifier que MP=PN.
En déduire que AB et BA ont même polynôme caractéristiques.

On vérifie aisément que MP=PN.
Ensuite pour la suite je n'y arrive pas... J'ai voulu utilisé que P était inversible mais je ne sais pas comment continuer et conclure...

Posté par
Manu04re : Polynômes caractéristiques et matrices 15-08-11 à 12:02

Salut,

effectivement P est inversible, donc M et N sont semblables et comme tu l'as dit au 1) elles ont même polynôme caractéristique. Calcule ce polynôme caractéristique.

Posté par
Aerobire : Polynômes caractéristiques et matrices 15-08-11 à 12:28

Merci Manu04!

Je suis arrivé à \large (-x)^ndet(BA-xI_n)=(-x)^ndet(AB-x_In) donc \large \forall x\neq 0 \large det(BA-xI_n)=det(AB-x_In) donc \large \chi_{BA}(x)=\chi_{AB}(x)


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