Bonjour tout le monde
J'ai un DM de maths avec trois problèmes, dont l'un concerne les polynômes de Grégory.
L'énoncé donne:
On considère l'application qui à tout polynome P Rn[X] associe le polynome P(X+1)-P(X).
Ainsi:   P Rn{X], P(X)=P(X+1)-P(X)

1) Montrer que est un endomorphisme de Rn[X]
(Ok pour cette question.)

2) On pose P0=1 et K [|1,n|] Pk=(X(X_1)...(X-k+1))/k!
a) Montrer que (P0,P1,...Pn) est une base de Rn[X]
(Ok aussi pour cette question)
b)Calculer k [|0,n|], (Pk)
(Cela donne, si k0: Pk-1(X) et si k=0 (P0)=0)

c) Reconnaitre Ker() et Im()(On pourra se servir de la base B).
(Question en cours, mais je n'arrive pas à conclure)

3)a) Calculer (i,j) [|1,n|]², ^i(Pj)(0) (On rappelle que ^i=oo...o)
Alors pour cette question, j'ai calculé le ^i(Pj), je trouve Pj-i si j>i et 0 si j<i. Mais je n'arrive pas à montrer que la valeur en 0 est soit 1 si j=i, soit 0 si ji, c'est à dire le symbole de Kronecker ij.


Pourriez-vous me donner quelques indices afin de me débloquer? Merci d'avance!