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Polynômes et anneaux quotient : calcul d'inversibles
Bonjour tout le monde,
N'ayant toujours pas réellement assimilé des notions du 1er semestre, je continue désespérément à bûcher dessus dans l'espoir que ça finisse par rentrer... 
Mon exo est le suivant :
Soit A l'anneau
Je ne veux pas de la propriété de caractérisation des inversibles avec le PGCD : je veux trouver le résultat de façon constructive, sans quoi je ne comprendrai jamais rien à ces histoires.
Voilà ce que j'essaie de faire :
Avant tout, on peut constater que
Soit
Pour décrire A et trouver son nombre d'éléments, je ne sais pas comment le faire avant d'avoir déterminé les inversibles, justement...
En ce qui concerne les inversibles, je trouve déjà que 1, X et X² sont inversibles, avec X² inverse de X :
Maintenant, reste à dire si ce sont les seuls, et à déterminer le cardinal de A. Partant du fait que X et X² sont inversibles et inverses l'un de l'autre, on peut voir que les monômes de degré supérieur ou égal à 4 vont être "tués" en passant au quotient dans A.
Donc a priori, il suffit de faire la liste des polynômes de degré < 4, puis de leurs représentants dans A, et de les compter pour trouver le cardinal de A ?
Ensuite, pour montrer que 1, X et X² sont les seuls inversibles, on peut voir que les seuls autres éléments de A sont des multiples de X+1 ou de X²+X+1. Mais est-ce que cela suffit à les exclure ?..
Puis, question subsidiaire, auriez vous un plan ou une méthode "propre" de résolution de cet exo ?..
Merci pour votre aide... ^^
Salut, 
Tu peux voir A comme étant l'ensemble des restes des divisions euclidiennes des éléments de F2[X] par X^3+1.
L'addition est définie trivialement.
Pour la multiplication, étant donné P1 et P2 dans F2[X], on note R1 et R2 les restes dans la division euclidienne de P1 et P2 par X^3+1. Alors R1*R2 est défini comme le reste de P1P2 par X^3+1.
Ce qui nous donne combien d'éléments?
Lesquels sont inversibles?
Salut schumi 
Tu peux voir A comme étant l'ensemble des restes des divisions euclidiennes des éléments de F2[X] par X^3+1.
Ah oui, merci, ça c'est une bonne façon de voir les choses !
Donc en suivant tes indications :
- pour compter le nombre d'éléments : il y en a autant que de polynômes de
- pour trouver les inversibles : ce sont les éléments
Si c'est 0, alors il n'y a que P=1 de possible.
Si c'est 1, alors il n'y a que X et X
Oups, le message est aprti trop vite
Je poursuis donc :
[...] il n'y a que X et X² de possibles.
Voui ? non ?
Donc il y a bien 8 éléments dans cet ensemble: 0,1,X,X+1,X²,X²+X,X²+1,X²+X+1.
Bon oui pour 1, X et X². Il en reste 3 à vérifier (c'est facile je te l'accorde mais faut vérifier quand même... faut le faire).
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