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Polynômes et applications linéaires
Bonjour,
Puis je avoir de l'aide ?
Voici l'énoncé :
Notons Rn[X], le R-espace vectoriel des polynômrs à coeffficients dans R de degré <=n
Montrer que l'on définit une application de Rn[X] dans R3[X] en associant à tout polynôme P de Rn[X] le reste de sa division euclidienne par le polynome X^4+3X^3+2X²+1. Notons L cette application.
Je ne vois pas du tout comment faire ? Pourriez me donner quelques indications ?
J'ai une ptite idée, il faut montrer que l'application est définie par l'unicité et l'existence d'une division euclidienne... Pour le montrer il faut juste utiliser "une application est linéaire si elle " respecte " les deux lois d'un espace vectoriel." ?
Merci
Bonjour rougedemoiselle,
il est clair que l'application est bien définie puisque le reste a un degré strictement inférieur au diviseur.
Pour la linéarité, il suffit de comparer le reste de la division de aP+bQ par avec a fois le reste de la division de P par
plus b fois le reste de la division de Q par
.
C'est plus facile à faire qu'à dire, pour une fois!
Tigweg
Bonjour
En effet, l'existence de l'application vient du fait que le reste de la division euclidienne par ce polynôme est uniquement défini et est un polynôme de degré inférieur à 3.
On appelle A le polynôme donné. Pour montrer que L est linéaire, tu dois montrer que si P1 et P2 sont des polynômes quelconques et si 
1 et 2 sont des réels, on a
Attention, pas de style sms ni dabréviations sur le forum, merci...
De plus même si tu ne comprends pas une réponse tu peux apprécier le fait qu'on te réponde 
Ecris les choses:
pour la division de P par le polynôme on écrit
P=Q+R où le degré de R est plus petit que 3.
R est unique donc il y a bien une application P->R.
Jusque là c'est bon?
Pour tout P R[X], il existe Q et R unique appartenant R[X] tels que P(X) = Q(X)( X4 + 3X3 + 2X²+1) + R(X)
avec Degre(R) < 4.
Donc, l'application L de R[X] dans R[X] vérifiant L(P) =R est bien définie
et L(R[X]) = R3[X].
Le fait que L(R[X]) = R3[X] découle aussi du fait que pour tout polynôme R fixé de R3[X], R est l'image d'un certain polynôme P par L, on peut choisir P=R par exemple.
Mais il faut dire cela avant de pouvoir affirmer que L(R[X]) = R3[X].
Tigweg
R3[X]
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