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polynômes et dérivation

Posté par hermanono (invité) 19-03-06 à 09:49

Bonjour à tous
J'ai besoin de votre aide sur une petit question d'un problème
Là voilà :

En dérivant n fois (1 - x)f(x)=exp(x), trouver une relation entre Pn et En.


Sachant d'après quelques questions que j'ai déjà répondu avant et l'énoncé :
f(x)= exp(x) / (1-x)
En(x)= x^k / k! ( de k=0 à n)
la dérivée n-ième de f(x) = exp(x) * Pn(x) /(1-x)^n+1
avec Pn est un Polynôme que j'ai du déterminer en fonction  de Pn-1 et P'n-1
Pn(x)= (n+1-x) Pn-1(x) + (1-x)P'n-1(x)

Pour répondre à cette question j'ai essayé d'utiliser la formule de lebniz pour calculer la dérivée n-ième mais je n'ai pas réussi à l'exprimer en fonction de En et Pn.
merci d'avance

Posté par
kaiser Moderateurre : polynômes et dérivation 19-03-06 à 10:53

Bonjour hermanono

Il me semble que P_{n} intervient dans une formule de Taylor appliquée à l'exponentielle (reste integrale).

Kaiser

Posté par hermanono (invité)re : polynômes et dérivation 19-03-06 à 11:38

je vois ce que tu veux dire Kaiser, je vais essayer.
merci

Posté par
kaiser Moderateurre : polynômes et dérivation 19-03-06 à 11:39

Mais je t'en prie !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynômes et dérivation 21-03-06 à 03:29

Bonsoir hermanono bonsoir kaiser;
Si j'ai bien compris hermanono,tu as déjà établi (pour tout entier naturel n) l'existence d'un polynome P_n tel que \fbox{\forall x\in\mathbb{R}-\{1\}\\f^{(n)}(x)=\frac{e^xP_n(x)}{(1-x)^{n+1}}} où \fbox{P_0=1\\(\forall n\ge1)\hspace{5}P_n=(n+1-x)P_{n-1}+(1-x)P'_{n-1}}
Dans le but d'expliciter les polynomes P_n l'exercice propose de dériver n fois l'identité \fbox{(1-x)f(x)=e^x}
Allons y:
D'aprés la formule de Libnitz on a \fbox{(\forall x\in\mathbb{R}-\{1\})\hspace{5}(\forall n\in\mathbb{N})\\\Bigsum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}(1-x)^{(k)}f^{(n-k)}(x)=e^x} c'est à dire que \fbox{(\forall x\in\mathbb{R}-\{1\})\hspace{5}(\forall n\in\mathbb{N}^*)\\(1-x)f^{(n)}(x)-nf^{(n-1)}(x)=e^x} ou encore que \fbox{(\forall x\in\mathbb{R}-\{1\})\hspace{5}(\forall n\in\mathbb{N}^*)\\(1-x)\frac{e^xP_n(x)}{(1-x)^{n+1}}-n\frac{e^xP_{n-1}(x)}{(1-x)^n}=e^x} relation qui s'écrit aprés simplification \fbox{(\forall x\in\mathbb{R}-\{1\})\hspace{5}(\forall n\in\mathbb{N}^*)\\P_n(x)-nP_{n-1}(x)=(1-x)^n} en divisant cette dérnière relation par n! on a que \fbox{(\forall x\in\mathbb{R}-\{1\})\hspace{5}(\forall n\in\mathbb{N}^*)\\\frac{P_n(x)}{n!}-\frac{P_{n-1}(x)}{(n-1)!}=\frac{(1-x)^n}{n!}} d'où \fbox{(\forall x\in\mathbb{R}-\{1\})\hspace{5}(\forall n\in\mathbb{N}^*)\\\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{P_k(x)}{k!}-\frac{P_{k-1}(x)}{(k-1)!}=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{(1-x)^k}{k!}} et par téléscopie \fbox{(\forall x\in\mathbb{R}-\{1\})\hspace{5}(\forall n\in\mathbb{N}^*)\\\frac{P_n(x)}{n!}-P_0=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{(1-x)^k}{k!}} c'est à dire \fbox{(\forall x\in\mathbb{R}-\{1\})\hspace{5}(\forall n\in\mathbb{N}^*)\\P_n(x)=n!E_n(1-x)} enfin en remarquant la validité de cette dernière expression pour n=0 et par continuité des polynomes P_n et E_n au point 1 on peut affirmer que 3$\blue\fbox{(\forall x\in\mathbb{R})\hspace{5}(\forall n\in\mathbb{N})\\P_n(x)=n!E_n(1-x)}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par hermanono (invité)re : polynômes et dérivation 21-03-06 à 19:07

merci beaucoup elhor_abdelali


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