Bonjour yonyon
Il suffit de remarquer que 1 et -1 sont deux racines évidentes de P et que P=(X+1)(X-1)².
On a donc pour tout n .
Or P(1)=P(-1)=0, donc en remplacant X par 1 et par -1, on obtient deux équations ne faisant pas intervenir le polynôme Q.
Comme on a 3 inconnues, il nous faut une autre équation et pour l'obtenir, io suffit de dériver cette égalité et de remplacer X par -1.
Il suffir alors de résoudre le système obtenu.

Kaiser

Merci beaucoup mais j'ai un problème par rapport à la parité de n en effet le système que j'obtiens est:
a+b+c=1
a-b+c=(-1)^n
-2a+b=n(-1)^(n-1)
Comment m'en sortir?

Tu n'as pas besoin de t'occuper de la parité de n.
Je viens de me souvenir d'une méthode plus astucieuse pour résoudre ce problème.
Il suffit de trouver une base "sympathique" de l'ensemble des polynômes de degré au plus 2.
Il est assez facile de voir que Vect((X-1),(X+1))=Vect(1,(X-1)) et donc Vect((X-1),(X+1),(X-1)(X+1))=Vect(1,(X-1),(X-1)(X+1)).
Or (1,(X-1),(X-1)(X+1)) est une suite échelonnée de 3 polynômes de degré au plus 2, donc c'est une famille libre de qui est de dimension 3, donc c'est une famille génératrice.
Par suite, on a
Ainsi, tu peux écrire R sous la forme a(X-1)+b(X+1)+c(X-1)(X+1).
le système obtenu sera plus facile à résoudre.

Kaiser

Merci beaucoup pour votre aide mais on commence seulement l'algèbre linéaire donc je ne comprends pas vraiment tout ça car je n'ai pas encore entend parler de base, de "vect"...

J'ai repris la piste que vous me donniez dans le premier message je crois que j'y arrive mais mon résultat dépend de la parité de n, est-ce normal?
J'ai utilisé le fait que P(1)=P(-1)=P'(-1)=0
et en posant R=aX^2+bX+c, j'obtiens le système suivant:
a+b+c=1
a-b+c=(-1)^n
-2a+b=n(-1)^(n-1)
En résolvant le système, je trouve:
Rn=(n/2)X^2+1-(n/2) si n est pair
Rn=((1-n)/2)X^2+X+(n-1)/2 si n est impair

Je réponds alors à la question c en remplaçant X par A mais pour la question 3 je bloque
Merci encore