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Polynomes et racines
Bonjour,
Voici un problème sur lequel je bloque :
Démontrer qu'il existe un nombre fini de polynomes unitaires de degré n à coefficients entiers et dont les racines sont de module inférieur ou égal à 1. (On cherchera une majoration des coefficients d'un tel polynome).
Voila je bloque complètement la dessus, de l'aide serait la bienvenue.
Merci.
Bonjour Jaina, il suffit d'écrire les relations entre coefficients et racines:
soient les n racines, avec
pour tout k.
Tu peux exprimer les coefficients de ton polynome par rapport aux , puis les majorer.
On obtient aisément le résultat après ça,compte tenu du fait que les coefficients sont entiers.
Tigweg
Attention, le calcul de fait intervenir une somme de C(n,k) termes (coefficients binômiaux).
Chaque terme a un module majoré par 1, donc je dirais plutôt que .
Sauf erreur!
Tigweg
Ah oui, je n'avais pas réalisé que la somme comportait autant de termes en fait.
Donc pour conclure, il me reste juste à dire que comme chaque coefficient est majoré et est un nombre entier, il ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs, donc l'ensemble de tels polynomes est fini. C'est ça ?
J'ai encore une question sinon : (rien à voir avec la précédente)
On note a une racine de l'unité telle que a^n=1 et a^k différent de 1 si k est plus petit que n (k entier). On veut montrer qu'il esiste un unique couple de polynômes P,Q tels que :
1. P(a)=0
2. P divise tout polynome de Q[X] ayant pour racine a
3. X^n - 1=PQ
4. P et Q sont à coefficients entiers
J'ai quelques problèmes déja pour montrer l'existance :
Jai l'existance de Q grâce à 2. et si P est à coeff entiers, Q aussi.
Mais je n'arrive pas à avoir un P qui vérifie 1 et 2 et qui est à coefficients entiers.
Des idées ??
onc pour conclure, il me reste juste à dire que comme chaque coefficient est majoré et est un nombre entier, il ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs, donc l'ensemble de tels polynomes est fini. C'est ça ?
Ton exercice est une introduction aux polynômes cyclotomiques.
En fait le P qui va marcher est le polynôme minimal de l'idéal de Q[X] engendré par l'ensemble des polynômes A vérifiant A(a)=1.
Il est trivial que c'est un idéal.Ensuite il n'est pas vide car Xn-1 lui appartient.
Enfin Q[X] est un anneau principal, donc cet idéal est engendré par un unique polynôme unitaire.
Appelle-le P,puis vérifie qu'il répond bien à toutes le conditions.
Enfin, prouve que le quotient Q de Xn-1 par P est encore à coefficients entiers.
l'idéal de Q[X] engendré par l'ensemble des polynômes A vérifiant A(a)=1.
> l'idéal de Q[X] de l'ensemble des polynômes A vérifiant A(a)=0, pardon!
Ton exercice est une introduction aux polynômes cyclotomiques.
Waa... juste avec deux questions ^^ !
Je n'avais pas du tout pensé à voir ça en terme d'idéal.
Merci beaucoup d'avoir passé du temps à m'aider !
Salut tout le monde,
Il y a quand même largement plus simple (mais moins amusant) pour introduire les polynômes cyclotomiques.
Ayoub.
Re Ayoub!
Ca dépend dans quel corps!
Dans C tu as raison, on peut les définir explicitement.
Mais dans le corps des fractions K d'un anneau A intègre et euclidien plus général, les racines de l'unité (soit les éléments x du corps vérifiant xn=1)
ne sont pas toujours facilement exprimables, et il vaut mieux donc définir le n-ème polynômes cyclotomiques comme le générateur unitaire de l'idéal des polynômes de A[X] annulant les racines n-èmes de l'unité.
(cet idéal est principal car si A est euclidien, A[X] est euclidien donc principal).
Tigweg
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