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Polynomes et racines
Bonsoir,
j'ai un problème en ce qui concerne les polynomes... j'ai commencé le chapitre qui en parle il y a 2 semaines et j'ai un exam mardi :p.
Le prof (un peux dans son monde comme sa arrive en math 
) nous a donné des fiches d'exos et il y en a pas mal qu'on a pas fait.
Comme j'ai un peux mal, je met 3 tites questions indépendante où je sèche :
1) Montrez que si P(X) est à coefficients réels et de degré impair, alors il admet toujours au moins une racine réelle.
2) Trouvez les entiers n tels que P(X) = (X-1)n - (Xn-1) ait une racine double dans 
.
3) Trouvez les polynomes tels que P(X²) = P(X+1)*P(X-1)
Pour la 1) j'ai essayé qq trucs qui n'ont pas marchés et les 2 autres je ne vois vraiment pas comment partir. Surtout n'hésitez pas à détailler ou donner des astuces 
Bonsoir SAKDOSS
1) Utilise le théorème des valeurs intermédiaires.
2) P admet une racine double x si P(x)=0 et P'(x)=0.
Kaiser
Ok merci kaiser, c'est bon pour la 1)
en revanche pour la 2) en posant z la racine complexe de P(X) a la fin j'obtien zn-1 = 1
Je n'ai pas l'habitude de manier les complexes c'est quoi les solutions dans C ? juste n=0 ou il y en a d'autres ?
Si tu as une idée pour la 3) ^^
j'ai voulu mettre n=1 pas n=0.
J'ai finalement réussi a conclure et je trouve que la seule solution est lorsque n=1 (le pblm était que si était de la forme z = e(2i k 
/n) ; zn étais alors égal à 1. Mais j'ai montré que dans ce cas z n'étais pas une racine double de P(X) ).
Reste plus que la 3) si vous avez une idée...
Pour la 3)
En posant X = 1 et X = -1 on a P(0)*P(2) = P(0)*P(-2) ----> P(2) = P(-2) mais de la je n'arrive pas a conclure grand chose
Oui c'est vrai uniquement si P(0) différent de 0.
J'ai l'impression que l'énoncé est assez vague.
Tout ce que j'ai réussi a faire c'est géneraliser par récurence que pour n entier P(2n) = P(-2n).
...il manque peut être des données dans l'énoncé.
Bonjour,
Pour la 3 faut essayer de trouver les racines de P .
D'abord si P est une constante que peux-tu dire ?
Ensuite si z est racine de P(X) alors z+1 est racine de P(X-1) donc (z+1)^2 est racine de P(x^2) donc z+1 ou z-1 est racine de P.....on doit y arriver ainsi.
lolo
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