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Polynômes ( et sous espaces vectoriels )

Posté par
hiiragi 22-09-07 à 15:42

Bonjour, j'ai quelques soucis avec un devoir maison avec une question en particulier dont la résolution pourrait m'aider à progresser dans le problème.


Soit k\in{0,1,...,n}, R_k le polynôme R_k = X^k(1-X)^{n-k}
Soit \Phi une application définie pour tout polynôme P de E par

\Phi(P)=\sum_{k=0}^n \(n\\k\) P(\frac{k}{n}) R_k = \sum_{k=0}^n \(n\\k\)P(\frac{k}{n})X^k(1-X)^{n-k}

J'ai résolu les 2/3 du problème qui nous plaçait dans un espace vectoriel E de dimension 4 (R_3[X]).
La famille des (R_k)_{k\in[0,3]} est une base de E.
\Phi est un autodomorphisme de l'espace vectoriel E.
\Phi(1)=1 et \Phi(X)=X

Une autre base de E est : (1,X,X^2 -X,X^3 -\frac{3X^2}{2} +\frac{X^2}{2})

D'autres résultats intermédiaires ont été démontrés pour les matrices commutant avec A (matrice canoniquement associée à \phi) mais qui ne me semblent pas nécessaires à la résolution du problème qui suit.

Je dois montrer que pour j élément de {0,1,..,n} X^j=\sum_{k=0}^{n-j} \(n-j\\k\)R_{k+j} et en déduire que la famille (R_k)_{k\in[0,n]} est une base de E = R_n[X].

J'aurais donc besoin de vos lumières à ce sujet et j'espère que le demonstration me donnera quelques indications pour la résolution des questions suivantes qui me semblent assez compliquées.

Merci d'avance !

Posté par
jeansebre : Polynômes ( et sous espaces vectoriels ) 22-09-07 à 15:59

N'y a-t-il pas une erreur dans le dernier vecteur de base? Par exemple X/2 à la place de X2/2 ?

Posté par
hiiragire : Polynômes ( et sous espaces vectoriels ) 22-09-07 à 16:05

Tout à fait jeanseb, j'ai fait un erreur lors de la saisie.

La base était bien (1,X,X^2 -X,X^3 -\frac{3X^2}{2} + \frac{X}{2}).


Merci.

Posté par
jeansebre : Polynômes ( et sous espaces vectoriels ) 22-09-07 à 16:08

Les 3$\rm\Phi(P) sont des polynômes de Bernstein. Peut-être pourras tu trouver des idées ou des infos en tapant cela sur Google, ou par Wikipédia...

Posté par
hiiragire : Polynômes ( et sous espaces vectoriels ) 22-09-07 à 16:10

Ah... je ne connaissais pas du tout.
Je vais faire une recherche en espérant que ça m'aidera.

Merci !

Posté par
jeansebre : Polynômes ( et sous espaces vectoriels ) 22-09-07 à 16:22

Ecris la définition de ta somme en explicitant R k+j

Regarde ce que vaut le terme où k=0, puis celui où k = 1

Tu verras qu'on peut mettre Xj en facteur

L'autre facteur est une somme où tu peux reconnaitre la formule du binôme de Newton. En l'appliquant, tu trouveras que cela vaut 1.

Sauf erreur.

Posté par
hiiragire : Polynômes ( et sous espaces vectoriels ) 23-09-07 à 22:47

Bien sûr je ne pensais vraiment pas retrouver une forme du binôme de Newton.

Merci beaucoup.

Je planche maintenant sur en déduire que la famille (R_0,...,R_n) est une base ce qui devrait être immédiat.

Posté par
hiiragire : Polynômes ( et sous espaces vectoriels ) 23-09-07 à 22:57

Il me semble avoir résolu la question.

Merci pour ton aide jeanseb !

Posté par
jeansebre : Polynômes ( et sous espaces vectoriels ) 24-09-07 à 12:29

C'était un plaisir...


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