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polynômes et ss-ev
Bonjour tout le monde,
Je ne suis pas du tout à l'aise avec cet exo.
1) Montrer que F= I est un ss-ev de
dont on donnera la dimension ainsi qu'une base.
La base canonique de F est (1,X,X^2) , et donc dim F= 3.
Soient (f,g) deux éléments de F
A appartient à {1,X,X^2}
B appartient à {1,X,X^2}
et (a,b) appartienant à IR^2
On a que
deg( aA + bB) <= max(degA,degB) <= 2
Donc aA + bB appartient à
Donc F est un ss-ev de IR_5[X]
2) Montrer que l'ensemble G des polynômes de IR5[X] divisibles par X(X-1)^2 est un ss-ev de IR5[X]. Donner la dimension et une base de G.
Voilà ce que j'ai écrit:
G={ P
IR5[X] |
QIR2[X] , P= X(X-1)^2 Q }
Soient A= X(X-1)^2 Q1 élément de G
B= X(X-1)^2 Q2 élément de G
(a,b) appartiennent à IR^2
On a
aA +bB = X(X-1)^2 aQ1+ X(X-1)^2 bQ2 = X(X-1)^2 (aQ1+ bQ2)
Or deg (aQ1+ bQ2)<= max( degQ1, degQ2)<=2
Donc G est un ss-ev de IR5[X]
Je ne sais pas du tout comment trouver une base de G.
Au secours
Re bonjour letonio
Une petite indication :
Considère l'application linéaire f qui va de 
2[X] dans G et qui à un polynôme P associe X(X-1)2P.
Montre ensuite que cette application linéaire est en fait un isomorphisme.
T'auras directement la dimension et une base de G.
Voilà
Kaiser
Ca m'a l'air bizarre ce que j'ai dit... Je réessaie.
1) La base canonique de F est (1,X,X^2) , et donc dim F= 3.
F=IR2[X]= {P appartient à IR5[X] | degP<= 2 }
Soient A et B deux éléments de F
A appartient à IR2[X]
B appartient à IR2[X]
et a appartient à IR\{0}
L'élément neutre de IR5[X], le polynôme nul appartient à F.
deg(A+B)<= max(degA , degB)<= 2
Donc F est stable par addition.
deg (aA)<= 2
Donc F est stable par dilatation.
Donc F est un ss-ev de IR5[X]
C'est mieux?
Au secours!
Je suis bloqué dans la question 2).
Je ne sais pas trop comment m'y prendre pour donner la dimension et une base de G
Je ne trouve vraiment pas. Je suis reparti de la définition de la base.
Je cherche donc une famille A liée telle que VectA= G.
ohhhhh je viens peut-être d'avoir une illumination.
Si je prends 3 poly Q:
Q1=1
Q2=X
Q3=X^2
J'obtiens 3 vecteurs:
A= X(X-1)^2= X^3 -2X^2 + X
B= X(X-1)^2 .X = X^4 - 2X^3 +X^2
C= X(X-1)^2 .X^2 = X^5 - 2X^4 + X^3
On voit bien que ces trois vecteurs sont liés, et il me semble que je peux générer l'ensemble des poly de G par combinaisons linéaires de ces vecteurs... Maintenant que je le dis, ça me parait beaucoup moins sûr...
Tout compte fait, j'ai l'impression que ça marche. Mais c'est juste une intuition. Et mes intuitions sont souvent assez mauvaises 
Je ne sais pas trop comment rédiger ça... Je me dis qu'en utilisant la première question et le fait que (1,X,X^2) est une base canonique de IR2[X], je dois pouvoir m'en sortir.
(A,B,C) appartiennent à G^3 et G ss-ev
donc Vect(A,B,C) est inclus dans G
J'ai à nouveau du mal pour montrer l'autre sens.
Je vais essayer de prouver l'autre sens grâce aux dimensions...
(A,B,C) est libre et génératrice de vect(A,B,C). Donc (A,B,C) est une base de Vect(A,B,C) .
donc dim(vect(A,B,C))= 3
et dim G>= 3
Par contre après ... Il me semble que j'arrive à le "palper".
J'ai donc dim(IR5[X])>= dim G >= 3
5 >= dim G >= 3
G est inclus dans IR5[X]. Donc si dim G =5 alors G= IR5[X] , ce qui est faux.
Donc
4>= dim G>= 3
Comment est-ce que je peux éliminer le cas où dim G= 4 ?
snif personne n'a le courage de relire ce long post.
J'ai l'impression de faire un monologue depuis tout à l'heure 
Je me fais mes questions mes réponses et mes petites blagues.
Salut,
"Si je prends 3 poly Q:
Q1=1
Q2=X
Q3=X^2
J'obtiens 3 vecteurs:
A= X(X-1)^2= X^3 -2X^2 + X
B= X(X-1)^2 .X = X^4 - 2X^3 +X^2
C= X(X-1)^2 .X^2 = X^5 - 2X^4 + X^3
On voit bien que ces trois vecteurs sont liés, et il me semble que je peux générer l'ensemble des poly de G par combinaisons linéaires de ces vecteurs... Maintenant que je le dis, ça me parait beaucoup moins sûr..."
Ces vecteurs ne sont pas liés... Ils forment une famille libre de en tant que
.
D'ailleurs tu l'as dit à 21h13...Ce doit être une erreur d'inattention.
Re bonsoir letonio
Je viens d'arriver et je vais essayer de te tirer de ce mauvais pas.
Tout d'abord les 3 vecteurs que tu a appelés A, B et C ne sont pas liés. Au contraire c'est une famille libre et génératrice de G.
Je vais te le montrer.
D'abord, la famille est libre:
Soient a, b, et c 3 réels tels que aA+bB+cC=0.
On pose P=a+bX+CX2.
donc X(X-1)2P=aA+bB+cC=0
Si P n'était pas le polynôme nul, alors le degré du polynôme qui se trouve à gauche serait au moins égal à 2. Or le degré du polynôme nul, c'est -
ce qui est impossible.
Ainsi, P est le polynôme nul et donc on a a=b=c=0, d'où (A,B,C) est une famille libre. Donc vect(A,B,C) est un espace vectoriel de dimension 3.
Pour alléger les notations, on l'appellera E.
De manière évidente, A, B et C sont dans E, donc E est inclus dans G.
On va maintenant montrer que G est inclus dans E.
Soit P un polynôme appartenant à G, donc il existe un polynôme Q de degré au plus 2 tel que P=(X(X-1)2)Q.
Par ailleurs, Q s'écrit Q=a+bX+cX2.
Ainsi, on P=(X(X-1)2)(a+bX+cX2)=aA+bB+cC
donc P est dans E, d'où G est inclus dans E.
Pour conclure, (A,B,C) est une base de G qui est alors un espace vectoriel de dimension 3.
Voilà
Kaiser
Pour revenir à ton problème :
tu veux montrer que G=vect(A,B,C).
Il est évident que vect(A,B,C) est inclus dans G.
Il suffit alors de montrer que G est inclus dans vect(A,B,C).
Soit . Alors il existe des réels a,b et c tels que
.
.
.
Donc . Donc
.
Tout d'abord les 3 vecteurs que tu a appelés A, B et C ne sont pas liés. Au contraire c'est une famille libre et génératrice de G.
Heu oui en fait c'est ce que je voulais dire...
Merci c'est clair.
Par contre je crois que je vais avoir du mal avec la question suivante.
3) Montrer que IR5[X]= F+G en somme directe.
Je vais donc essayer de montrer que
PIR5[X], !(A,B)F*G tels que P= A+B
Ou peut-être que ça serait plus simple de séparer, et de montrer d'abord que l'intersection de F et G est {0}, et que IR5[X]= F+G.
Pas de problème pour montrer que F inter G = {0}.
les polynômes de G sont au minimum de degré 3 sauf si mon polynôme Q est nul.
Soient (A,B)appartenant à F*G
deg(A+B)<= max(degA,degB)<=5
donc F+G est inclus dans IR5[X]
Le problème arrive maintenant
Ok je crois avoir trouvé.
dim(F+G)= dim F + dim G -dim (f inter G) etc
Par contre ça m'énerve. Mon prof n'a rien démontré d'un certain nombre de propriétés. Je ne sais pas d'où ça sort... 
Kaiser, on me demande dans la question suivante d'utiliser la division euclidienne pour retrouver directement qu'il existe un unique couple (p1,P2) appartenant à F*G tel que P= P1+ P2.
Je suppose que c'était de ça que tu me parlais...
Voilà le début de mes réflexions.
P1= X(X-1)^2 Q1 +R1= R1
P2= X(X-1)^2 Q2
x(X-1)^2 ne divise pas R1
P= X(X-1)^2 Q2+ R1
Je crois que j'ai besoin d'une piste...
Soit P dans R_5[X] comme tu as remarqué, on peut diviser P par (X(X-1)^2 le reste est de degré < 3 donc dans F déjà ça te donne
P = x(x-1)^2Q + R où R est dans F et
X(X-1)^2 Q est dans G . Maintenant si P = P1 + P2 avec P1 dans G et P2 dans F forcément P2=X(X-1)P3 et P2 est dans F donc tu as écris la division euclidienne, et comme le quotient et le reste dans une divison euclidienne sont uniques d'où l'unicité.
lolo
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