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Polynomes, ev, Bezout

Posté par
sk8er_simo 23-03-08 à 01:19

Bonsoir,
Je suis sur un exercice de mon DM et je bloque sur quelques questions :
Soient A \in \mathbb{R}_{n}[X]. \rm {On note} E_{A} = \lbrace P \in \mathbb{R}_{n}[X] \mid  A/P \rbrace
1. Montrer que E_{A} est un s.e.v de \mathbb{R}_{n}[X].
_______
Je ne suis vraiment pas très convaincu de ma démo :
0 \in E_{A} Donc E_{A}\not= \empty
Soient R,S \in E_{A} \lambda,\mu \in \mathbb{K} \\ \lambda R + \mu S \in \mathbb{R}_{n}\lbrace X \rbrace Donc E_{A} S.e.v. de \mathbb{R}_{n}\lbrace X \rbrace
_______
2. Déterminer la dimension de E_{A}.
_______
Je me dis que ça doit etre \leq n mais je ne vois pas précisement.
_______
3.Exemple : On suppose n \leq 4, trouver un polynome P tel que
E_{X^2-1} \cap E_{X^3-1} = E_{P}
_______
Je pense à (X-1)(X+1)(X²+X+1) vu qu'il divise les 2
_______
SoitB \in \mathbb{R}_{n}\lbrace X \rbrace tel que A _rm {et} B n'aient pas de racine commune dans \mathbb{C}

4. Montrer que E_{A] \cap E_{B} = E_{AB}.
_______
A|P et B|P et A et B n'ont pas de racine commune donc AB|P , ce qui me semble suffisant pour montrer ce qu'il faut
_______
5. On suppose que deg(A)+deg(B)=n+1.
(a). Montrer que \mathbb{R}_{n}\lbrace X \rbrace = E_{A} \oplus E_{B}\lbrace X \rbrace
(b). En déduire qu'il existe P,Q \in \mathbb{R}_{n}\lbrace X \rbrace tels que AP + BQ = 1 (Bezout)
________
Voilaaa, si quelqu'un pourrait m'aider, je lui en serai très reconnaissant, merci

Posté par
Tigweg Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 01:36

Bonsoir,

1)Il faut quand même préciser que R,S dans E_A signifie que R et S sont multiples de A, mais comment en déduis-tu que \lambda.R+\mu.S\in E_A?

2)Se donner P multiple de A équivaut à se donner le quotient Q de P par A, avec 0\le\dim(Q)\le n-\dim(A)
Il n'y a plus qu'à imaginer une base, pour conclure que \dim(E_A)=n-\dim(A)+1.

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 01:40

pour la 1) je ne sais pas trop, A|R et A|S ce que je dois montrer c'est que A|\lambda.R+\beta.S? mais je ne vois pas coment faire

pour la 2) je pense avoir compris !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 01:47

3)Oui, tu as trouvé le ppcm de X²-1 et de X^3-1 , par contre l'argument

Citation :
vu qu'il divise les 2
n'est pas bon, ce serait plutôt que c'est un multiple des 2, et qu'inversement tout multiple des deux sera aussi multiple de (X-1)(X+1)(X^2+X+1)...à condition de le prouver rigoureusement!

4)Ton argument est bon mais il faut le faire plus rigoureusement, par double inclusion.

5)J'imagine qu'on suppose encore que A et B n'ont pas de racine commune.

a)Pour la somme directe, utilise la question 4 et le fait que des multiples de degré inférieur ou égal à n d'un polynôme de degré n+1, y en a pas des masses!

Conclus par un argument de dimension, en utilisant la question 2.


b)C'est clair en appliquant a) avec 1\in{\mathbb{R}}_n[X].


Posté par
Tigweg Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 01:48

1)Oui c'est cela, reviens donc à la définition!

Que veut dire A|R?

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 01:54

A|R <=> A(X)=R(X).Q(X)

Posté par
Tigweg Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 02:02

Non c'est le contraire!

A divise R veut dire que R est multiple de A, donc qu'il existe Q vérifiant R=A.Q.

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 02:06

oui oui oui
excuse moi, je vais mettre ça sur le compte du sommeil...:p
et pour ne pas dire plus de bétises je vais dormir et reprendre sa demain matin.
Merci beaucoup Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 02:07

Avec plaisir sk8er_simo!

Bonne nuit!

Tigweg

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 12:47

Rebonjour !
Voila je m'y remet :
alors pour la 1) j'écris
S\in E_{A} \Rightarrow A | S \Rightarrow \exists Q \rm   {tel que} S=A.Q \rm { de meme pour } R et je regarde ce qu'il advient de \lambda.R+\mu.S et je trouve que \lambda.R+\mu.S=A.(Q'.\lambda+Q.\mu) \rm { que j'appelle Q''} Donc A|\lambda.R+\mu.S
_____
Par contre pour la dimension je ne vois pas très bien la base qu'il faut trouver ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 15:23

Bonjour

La dimension de EA dépend de celle de A. Si S est multiple de A tu as déjà écrit que S=AQ.

Comment s'écrit Q?

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 15:41

Q=\frac{S}{A} ???

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 15:48

Non, Q s'écrit comme combinaison linéaire de monomes comme tout polynôme... mais de quels degrés?

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 15:51

deg(Q)=deg(S)-deg(A)

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 15:55

Et alors?

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 15:57

S est de degré n car il appartient à n[X]
mais je n'ai pas d'information sur le degré de A si ce n'est qu'il est inférieur à n

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 16:03

S est de degré inférieur à n. Soit m ( n) le degré de A.

Alors S(X)=A(X)(q_0+q_1X+...+q_{n-m}X^{n-m})
Tu ne vois toujours pas une base de EA ?

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 16:06

(1,X,....,Xn_m ???
mais franchement je ne vois pas

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 16:12

Non, A, AX, ..., AXn-m

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 16:23

je vois pas trop le cheminement entre "trouver la dimension de EA" et le fait que (A,AX...,AXn-m) soit une base ? : ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 16:23

Si tu connais une base, tu ne connais pas la dimension?

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 16:26

au temps pour moi !!
donc la dimension de E A c'est n-m+1 ??
avec m le degré de A

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 16:28

OUI

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 16:31

merci beaucoup et je ne sais vraiment pas ce qui m'arrive ça doit etre un manque de concentration :p
une petite indication pour la dernière question ?

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 18:43

en fait j'ai du mal à montrer que
n[X]=EAEB[X]

Posté par
Tigweg Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 19:20

Bonjour vous deux!

sk8er_simo->

Citation :

5)J'imagine qu'on suppose encore que A et B n'ont pas de racine commune.

a)Pour la somme directe, utilise la question 4 et le fait que des multiples de degré inférieur ou égal à n d'un polynôme de degré n+1, y en a pas des masses!

Conclus par un argument de dimension, en utilisant la question 2.



Ca ne t'aide pas?

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 19:34

ben pas trop
je sais que deg(AB)=n+1
P € EA et P € EB donc P € EAB
donc deg P = n+1
or deg P n donc P=0
Donc l'intersection est réduite à {0}
maintenant je dois écrire P comme P1+P2
avec P1€EA et P2€EB
et j'ai A|P1 B|P2 AB|P1 A|P1P2 et B|P1P2
je ne vois pas coment faire à présent ni comment montrer l'inclusion
ni la question d'apres ...help

Posté par
Tigweg Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 19:51

Citation :
donc deg P = n+1
or deg P\le n donc P=0


->Attention ce n'est pas rigoureux, si P est dans EAB cela signifie que P=0 ou que \deg(P)\ge n+1 avec \deg(P)\le n d'où P=0.

Ensuite tu en déduis que \dim(E_A+E_B)=\dim(E_A)+\dim(E_B)=...? (utilise la question 2!)

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 20:04

dim(E_{A})+dim(E_{B})=2n-dim(A)-dim(B)+2 ????

Posté par
Tigweg Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 20:08

Oui!

Or?

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 20:13

on a une condition sur dim(A)+dim(B) ??

Posté par
Tigweg Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 20:21

Eh bien oui!Relis l'énoncé!Que vaut dim(AB)?

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 20:23

n+1 ???

Posté par
Tigweg Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 20:28

Oui!

Et quel est le rapport entre deg(AB) et deg(A)+deg(B) ?

(Il faut remplacer tes dim par des deg, A et B sont des polynômes!)

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 20:30

c'est ce qui me dérangeait : les deg et les dim
bien deg(A)+deg(B)=deg(AB)

Posté par
Tigweg Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 20:36

Ok, donc conclus!

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 20:41

dim(Ea)+dim(Eb)=3n+3
j'avance pas ça m'énerve !!

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 20:42

oups
dim(Ea)+dim(Eb)=n+1

Posté par
Tigweg Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 20:45

Non, deg(A)+deg(B)=n+1!!


Reprends alors mon message de 19h51 et rédige ce calcul sans confondre dim et deg!

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 20:53

dim(E_{A}+E_{B})=dim(E_{A})+dim(E_{B})=2n-deg({A})-deg(B)+2 or deg(A)+deg(B)=n+1 donc dim(E_{A}+E_{B})=n+1

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 20:56

mais c pas normal  !!!
on doit montrer que \mathb{R}_n[X]=E_{A}\oplus E_{B}[X] \rm{ or on a que } n=dim(E_{A})+dim(E_{B})=n+1 !!!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 21:08

Non c'est bon, Rn[X] est de dimension n+1 (les polynômes de dimension 0 sont aussi à considérer!)

Posté par
sk8er_simore : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 21:24

okaaaay !
ben merci vraimen vraiment beaucoup
Bonne soirée !!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Polynomes, ev, Bezout 23-03-08 à 21:27

Pas de quoi et bonne soirée!


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