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polynomes irréductibles (2)
Bonjour,
Je voudrais savoir comment savoir si P=Y^3-XY+X² est irréductible dans K[X,Y].
Je commence par considérer ce polynôme comme élément de K(X)[Y] donc deg(y)P=3 on a aussi pgcd(1,-X,X²)=1 donc si P est réductible, il s'écrit comme Q*R avec deg(y)Q=2 et deg(y)R=1. Donc on peut écrire que P=(aY+b)(cY²+dY+e) ensuite par identification je trouve que ac=1, ad+bc=0, ae+bd=-X et be=X², et la je suis bloquée... Est ce que je suis sur la bonne voie, ou alors avez-vous une meilleure méthode?
Merci pour vos réponses.
Bonjour
Dans ton raisonnement il n'est pas très clair si a,b, et les autres sont des éléments de K ou de K[X]. Toujours est-il que je procéderais comme on l'a toujours fait (au moins si K est de caractéristique différente de 2)
X2-XY+Y3=(X-Y/2)2+Y3-Y2/4
et comme un polynôme de degré 3 ne peut pas être un carré, c'est bien irréductible. (Il me semble).
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