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Niveau Licence Maths 1e ann
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Polynômes irréductibles

Posté par
Natalijaaaaa
05-01-24 à 12:27

Bonjour,
J'ai des problèmes à résoudre des exercices sur les polynômes irréductibles quand l'anneau en question est Fp[X].
Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer svp?

Voici un exemple:
Démontrer que f(X) = X^2 + X + 2 est irréductible dans F3[X].

Je sais que X^2 + X + 2 ≡ X^2 + X - 1, donc on obtient des résultats réels. Est-ce que c'est à cause de ceci que c'est irréductible?

Merci beaucoup d'avance.

Posté par
Ulmiere
re : Polynômes irréductibles 05-01-24 à 13:00

Est-ce que F_p[X]/(f) est un corps ?

Posté par
Ulmiere
re : Polynômes irréductibles 05-01-24 à 13:03

Peut-être que la notation est un peu obscure pour toi, alors je reformule.

Imagine-toi dans une extension (un corps) assez grande pour qu'il existe un élément \theta tel que f(\theta) = 0.
A quoi ressemble l'ensemble des P(\theta), où P est un polynôme de degré quelconque ?

Posté par
Natalijaaaaa
re : Polynômes irréductibles 05-01-24 à 13:19

Bonjour, merci de m'avoir répondu, mais je ne suis pas sûre de suivre votre raisonnement.

Posté par
Ulmiere
re : Polynômes irréductibles 05-01-24 à 13:28

Dis-nous ta définition de polynôme irréductible, parce qu'il en existe plein, et il semble que tu n'aies pas encore appris ce qu'est un idéal maximal

Posté par
carpediem
re : Polynômes irréductibles 05-01-24 à 13:29

salut

f(x) = x^2 + x + 2 = (x - 1)^2 + 1

que valent f(0), f(1) et f(2) dans F3[x] ?

autre façon : peut-on écrire f(x) = (x + a)(x + b) avec a, b dans F3 ?

Posté par
Natalijaaaaa
re : Polynômes irréductibles 05-01-24 à 13:42

Bonjour, j'ai trouvé que f(0)=2, f(1)=4 et f(2)= 8. Donc, aucun est un multiple de 3.

Et il n'est pas possible d'écrire f(x) tel que a et b appartiennent à F3.

Posté par
carpediem
re : Polynômes irréductibles 05-01-24 à 14:57

4 et 8 ne sont pas vraiment des éléments de F_3 ... mais bon ...

conclusion ?

Posté par
Natalijaaaaa
re : Polynômes irréductibles 05-01-24 à 15:09

oui, on peut écrire f(1)=4=1 et f(2)=8=2
Donc on conclut que c'est irréductible...

Posté par
MattZolotarev
re : Polynômes irréductibles 06-01-24 à 16:02

Natalijaaaaa @ 05-01-2024 à 15:09

oui, on peut écrire f(1)=4=1 et f(2)=8=2
Donc on conclut que c'est irréductible...


Pourquoi ? Un élément de \mathbb{K}[X] est-il nécessairement irréductible s'il n'a pas de racines dans \mathbb{K} ?



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