Je l'ai pas précisé parce que ça me semblait évident, mais on prend bien sûr deg(P)>1.

Peu probable en effet. Si P(67) a un diviseur premier p, alors dans F_p, le polynôme est factorisable par X-67.

Salut !


En effet c'est absolument impossible, d'ailleur avec de la théorie de galois et un peu de théorie analytique des nombres on peut meme donner des résultat très précis sur les différentes facon dont il va ce factoriser dans les Fp, et le nombres assymptotiques de fois ou apparait chaque factorisation.

par exemple, on sais qu'il y a assymptotiquement un nombres premier sur g telle que P soit scindé à racine simple dans Z/pZ, ou g désigne le cardinal du groupe de Galois du corps de décomposition de P (et donc g|n! )

Salut,

yos >> C'est bien ce qu'il me semblait.

Ksilver >> Merci pour ces précisions. Je vais mettre ça en remarque, ça va faire style.

maintenant que j'y pense l'argument que donne Yos est en réalité pas si simple :

en effet si on prend un diviseur p de P(n), alors n est un zéros de P dans Z/pZ. pour conclure que P n'est pas iréductible, il faut que P soit non nul dans Z/pZ ! (enfin à moins que tu considère que le polynome est réductible ? )

pour que cette argument soit valide, il faudrait prouver que l'ensemble des nombres p tel qu'il existe n tel que p divise P(n) ne peut pas etre finit. (c'est en effet le cas, par un argument sur le nombre assymptotique d'entier n dont les divisuers premier sont dans un ensemble finit fixé...). mais c'est un  peu plus compliqué.

concretement rien ne nous dit (enfin via cette argument) que la situation suivante est impossible : P est est nul modulo p pour un ensemble finit de nombre premier p et iréductible modulo p pour tous les autres nombre premiers.

j'essai de trouver un argument simple pour conclure...

Ok merci Ksilver.

hum, non la je vois vraiment pas ou ca peut-etre fait ca... enfin ceci dit j'ai trouvé ca pour prouver la résultat dont on à bessoin, mais c'est vraiment compliqué il doit y avoir beaucoup plus simple à faire...


Supossons que P soit nul modulo p pour un nombre finit de nombres premier (p1,..pn), et sans racines dans tous les autres Z/pZ.

P étant un polynome il est strictement croissant à partir d'un certain rang (bon, on suppose le coeficient dominant >0) supposons que ce rang soit 1, comme pour tous n, P(n) ce factorise uniquement en utilisant {p1,..pn}, on peut écrire que :

somme de k=1 à l'infinit des 1/P(k)^s >= somme des 1/n^s sur l'ensemble des n dont tous les facteur premiers sont dans {p1,..pn}

Or :
-somme des 1/n^s sur l'ensemble des n dont tous les facteur premiers sont dans {p1,..pn} converge pour tous s>0 vers produit sur i des 1/(1-pi^(-s))
(je te laisse le prouver, c'est exactement comme le formule d'euler pour la fonction Zeta)

-somme de k=1 à l'infinit des 1/P(k)^s converge pour s > 1/deg(P), et surtous admet un pole en s=1/deg P, ce qui est contradictoire (je te laisse aussi le prouver par comparaison à l'intégral...)


Mais je le re-dit encore je suis perduadé qu'il existe une réponde plus courte et purement aglébrique

Merci Ksilver.

La réduction modulo p d'un polynôme est nulle ssi tous ses coefs sont multiples de p. Ce cas est vite contourné.

Ba montre moi comment Yos ! j'ai cherché pas mal de temps et ca ne ce contourne pas.


pour faire fonctioner un argument du type du tiens, il faut dans tous les cas montrer que l'ensemble de p telle qu'il existe n telle que p|P(n) est infini.

si cette ensemble pouvait etre finit pour un polynome P donné, alors P*le produit des nombres premier de l'ensemble en question contredit ton raisonement.


à titre informatif, le fait que " l'ensemble de p telle qu'il existe n telle que p|P(n) est infini." implique quand meme (quand on prend pour P le n-ieme polynome cyclotomique) qu'il existe une infinité de nombre premier congru a 1 modulo n, soit un résultat pas totalement trivial. (mais je dit pas que la preuve esquissé plus haut est la plus simple non plus...)

Ceci dit, une preuve un peu plus elementaire :

on commence par diviser P par son contenu (le pgcd de ses coeficients), P est donc un polynome primitif (ie il ne sera nul dans aucun Z/pZ)

supposons que l'ensemble S des p telle que P s'annule dans Z/pZ soit finit.

Posons n=produit des nombres premier p de S. pour chaque p de S, il existe un i telle que P(i) est inversible dans Z/pZ, donc par le théorème chinois il existe u dans Z/nZ telle qu P(u) est inversible dans Z/nZ.

on relève u a Z, alors P(u+k*n) n'est divisible par aucun des p de S, donc par hypothèse par aucun nombre premier p, donc P(u+k*n)=+/- 1, ceci pour une infinité de nombres k ce qui est impossible !

On écrit P=c(P)Q où c(P) est le contenu de P. Le polynôme Q est non nul dans tout corps F_p. Quant à c(P), il renferme un nombre fini de diviseurs premiers.

Ah ben j'avais pas vu que tu avais trouvé tout seul.

"On écrit P=c(P)Q où c(P) est le contenu de P. Le polynôme Q est non nul dans tout corps F_p. Quant à c(P), il renferme un nombre fini de diviseurs premiers." >>> Mais la encore tu élide le problème dont je parle ! le polynome Q est en effet non nul dans tous corps F_p, mais rien ne prouve qu'il ai des zéros dans une infinité de F_p, et si il n'as de zéros que d'un nombres finit de F_p rien n'empeche que P soit nul dans tous les F_p en questions. c'est de ce problème dont je parle depuis le début et pour lequel j'ai donné deux moyens de le contourner... mais dans tous les cas, le point clé est de montrer que tous polynome à des zéros dans une infinité de Z/pZ

Je ne sais pas si j'élide ou si j'élude, mais je reconnais t'avoir lu en diagonale. Le fait que P(Z) contient une infinité de nombres premiers pour deg(P)=1 (Dirichlet) m'a laissé croire que c'était immédiat pour tout degré.

"Le fait que P(Z) contient une infinité de nombres premiers pour deg(P)=1 (Dirichlet) m'a laissé croire que c'était immédiat pour tout degré." Le fait que P(Z) contiens une infinité de nombre premier pour P iréductible primitif est une des grandes conjectures qui reste sur les nombres premier, elle est (à priori) très lié à la conjecture des nombres premiers jumeaux.

Mais ici, on à juste bessoin de savoir que  les P(n) avait une infinité de diviseur premier distincts (ce qui est beaucoupplus élemenaire)

(PS : faut une hypothèse suplaimentaire sur P pour avoir un chance qu'il prennent effectivement une infinité de valeur première : pgcd pour tous n de (P(n)) =1...)