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Polynomes, Ker et factorisations
Bonjour!!
Je bloque sur cet exercice. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait?
Soit E=R4[X] et B(X)=X^5-2X^3-3X^2-2X.
a/ Factoriser B dans R5[X]
J'ai trouve 0 et -1 commes racines evidentes donc j'en ai deduit que P se met sous la forme : B(X)=X(X+1)(X^3-X^2-X-2) mais je n'arrive pas a factoriser ce dernier polynome.
b/ A tout P de E, on associe 
(P), le reste de la division euclidienne de (X-2)P(X) par B(X). Montrer que appartient a L(E).
Je pense avoir reussi cette question
c/ Determiner Ker() et sa dimension.
AU debut je pensai que B divisait P que si degre P=4 mais apres j'ai realise que c'etait faux. Et maintenant je ne vois pas comment faire cette question du tout. Est-ce que vous pouvez m'aider s'il-vous-plait?
d/ Caracteriser les polynomes de E appartenant a Im().
QUe dois-je faire pour cette question? Pour moi il faut dire que degre des polynomes de im(Phi)<5. Je ne sais pas quoi faire de plus.
Merci beaucoup pour votre aide.
Quelques indications 
c) (P) est nul ssi P(X) est divisible par X(X+1)(X2+X+1)...
d) (P) est donc divisible par X-2. Essaye de montrer que Im =(X-2)
3[X]...
Bonjour Blang et merci beaucoup pour ta reponse.
J'avais trouve 2 comme racine mais je ne savais pas vraiment si on pouvait la considerer comme racine evidente.... ^^
En ce qui concerne tes indications, je me mets de suite au travail.
Rebonjour,
J'ai suivi ton indication pour la c) mais je ne vais pas bien loin....
Je cherche une condition sur P pour que (P)=0... Si j'interprete
X(X+1)(X^2+X+1)/P(X), alors j'en deduit que
P(X)=X(X+1)(X^2+X+1)Q(X) et que degre de Q(X)=0.
J'en deduis donc que P et X(X+1)(X^2+X+1) sont associes... Voire P est un irreductible... Mais je n'arrive pas a voir plus loin... Si P avait ete unitaire, alors ils auraient ete egaux... Peux-tu m'eclairer un petit peu plus s'il te plait?
c) Hé bien oui, c'est ça, P est associé à X(X+1)(X2+X+1) (irréductible par contre: 
).
Ker est donc la droite vectorielle dirigée par X(X+1)(X2+X+1) (donc de dimension 1).
Oulalalala.. Je n'y aurais jamais pense 
... Merci beaucoup pour ton aide!! :)
Une derniere petite question...comment sais-tu que phi(P) est divisible par (X-2)??
Pour montrer ensuite que Im(phi)=(X-2)R3[X] faut-il dire que comme degre de B=5, degree de phi(P)<=4 et comme phi(P) est divisible par (X-2) on se retrouve avec Pji(P)=(X-2)Q(X) avec Q appartenant a R3[X]?
A partir de la ai-je le droit de generaliser avec Im=(X-2)*R3[X]?
Encore une fois merci beaucoup pour ton aide :):)
(P) est divisible par (X-2) car l'identité de division euclidienne s'écrit: (X-2)P=BQ+(P) donc (P)=(X-2)(P-B1Q) avec B1=X(X+1)(X2+X+1).
Le point précédent prouve (en utilisant aussi ton raisonnement sur le degré) que Im
(X-2)3[X] mais il faut que tu prouves l'inclusion dans l'autre sens...
Rebonjour,
j'ai un peu du mal avec l'inclusion dans l'autre sens.... Je veux montrer que R(X)=(X-2)R3[X] est le reste de P par la division euclidienne de P(X-2) par B....Je n'arrive pas vraiment a voir par quel bout il faut que je m'y prenne... Aurais-tu une petite indication s'il te plait?
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