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polynomes unitaires
Bonjour à tous,
encore des questions:
j'ai
on a .
il faut que je montre que et
sont unitaires ou
sont dans
.
Autre question subsidiare...
d'ou ça vient que si deux polynomes ont le meme nombre de racines et les meme racines ils sont égaux?!
Dsl là c'est le trou
Bonjour,
d'ou ça vient que si deux polynomes ont le meme nombre de racines et les meme racines ils sont égaux
c'est faux, même si tu les suppose unitaire, même si tu le supposes de même degré:
1+x^2
2+x^2
n'ont aucune racine, donc vérifient tes hypothèses et ne sont pas égaux.
(1+x^2)p(x) a les mêmes racines que p dans Z.
Il faut te placer dans un anneau algébriquement clos pour que ce soit vrai et avec des polynômes unitaires. Si tu es dans cette situation c'est trivial, tu n'as qu'à factoriser ton polynôme.
Sinon il doit manquer des hypothèses dans ton énoncé.
Un polynôme de Z[X] de contenu 1 (ce qui est le cas quand il est unitaire) se décompose sur Z[X] si et seulement si il se décompose en polynôme de contenu 1 , donc tu peux les supposer unitaires ici.
Pour la suite je suppose que tu prends toutes les racines sur C . Même là c'est un peut faux : X+1 a les mémes racines de 2(X+1) .
Par contre si P et Q sont unitaires de mêmes racines alors P-Q est de degre < degré P et a plus de racine que son degré donc il est nul.
Merci lolo et otto,
en fait pour le 2meme truc que je demande c'est que j'ai
P(ai)=Q(ai)=e=+-1
et faut que je montre que F=P-e=Q-e
ai est racine de F(X) et de P-P(ai) et de Q-Q(ai) tous unitaires, le tout dans Z[X].
Bon je refais...
On considere un polynome de
tel que:
.
1)On a montré que ou
et
sont unitaires et de degré superieurs ou égal à 1.
2)On à montrer que les fonctions polynomes associées à et
sont des fonctions de
dans
de signe constant.
3)On a montré qu'il existe un tel que
4)On veut montrer que
alors j'ai dit que ai est racine de F,mais aussi de et de
.
sont trois polynomes unitaires,possedant le meme nombre de racines et les meme racines dans
.
ils seraient donc égaux si était algébriquement clos.
Si quelqu'un voit le truc...
dsl robby c'est moi... quand j'ai vu ton post, j'ai appelé ma soeur pour lui redemandé. elle m'a dit de prendre ses cours de MP et en fait y'a un truc avec les interpolations pour pouvoir appliqué ce qu'elle nous a dit...
la j'ai reessayer de chercher sans succès...voila donc du coup je suis comme toi j'attend un coup de main pour cette question...
moi je me souviens qu'au semestre 3,Baptou il nous avait dit...parce que C est algébriquement clos...Donc moi je connais que C qui est algebriquement clos.
Et puis on a pas d'autres solutions là donc bon,j'attend que quelqu'un m'aide aussi!!
le probleme pour nous,c'est que je crois que malheuresement Z[X] n'est pas algébriquement clos parce que si on considere que 1+F²(X) est dans Z[X],ce polynome est de degré superieur ou égale à 1 et n'admet aucune racine dans Z...
Sauf erreur donc faut trouver autre chose...
En faisait ca tu montres que Z n'est pas algébriquement clos, mais pas que Z[X] ne l'est pas.
Cela étant dit, c'est trivial de passer de l'un à l'autre.
Alors on a 3 polynômes unitaires :
F(x) = (x - a1)...(x - an) de degré n
P(x) - e, de degré supérieur ou égal à 1 et qui s'annule en a1, ..., an
Q(x) - e, idem.
Le degré de P - e est au moins égal à n, et il en est de même pour Q - e.
Comme F² + 1 = PQ, les degrés de P et de Q sont exactement égaux à n.
On en déduit bien que F = P - e = Q - e (pas besoin que Z soit algébriquement clos, heureusement !)
j'ai pas bien saisi Frenicle,
pourquoi comme P et Q sont de degré exactement égaux à n ça suffit pour conclure??
Bonsoir!
dit Frenicle,c'est parce que le degré de F et le degré de P-e se sont les meme...en plus de ce que j'ai raconté avant...?
de meme pour Q?
On suppose par l'absurde que par exemple, alors en particulier
, or tu as montré
donc
ce qui est absurde.
(perso j'ai fait comme ça)
on y a passé bien 2h pour fairele 1 et le début du 2...on avait trouvé un truc pour la question 3) mais en rentrant,je me suis aperçu que le truc collé pas...
alors j'ai posté sur l'ile!
l'exercice 3,je verrais la correction,trop long à faire maintenant!
pourquoi comme P et Q sont de degré exactement égaux à n ça suffit pour conclure??
Pour tout i, P - e s'annule en ai. Comme les ai sont distincts, il est donc divisible par (x - a1)...(x - an). Comme il est de degré n et unitaire, il est égal à (x - a1)...(x - an), c'est-à-dire à F.
Effectivement Frenicle!!
C'est des bons vieux souvenirs sur les polynomes tout ça...Merci!!
(non le 3 j'ai fait que le 1)
)
On suppose par l'absurde que F(X)
P(x)- e par exemple, alors en particulier F(ai)P(ai) - eBen non, ce n'est pas parce que deux polynômes sont différents, qu'ils prennent des valeurs différentes partout...
euhh tant que j'y suis,je me rend compte que ma conclusion est fausse aussi!!
il y a une derniere question...
il faut déduire de 4) une contradiction...
alors moi j'ai pensé faire:
donc je remplace
par
...et j'arrive à
...
si Frenicle tu as encore un peu de temps et de l'énergie,je ne suis pas contre un coup de main.
j'ai fait ce coté aussi et pour moi y'a aucune contradiction puisque on a 2eF=0 pour tout X donc en particulier pour un ai...
non??
1, et on aboutit à F = 0. C'est moche, non ?
Ok OK!!
C'est affreux en effet!
petite remarque,si on revient à la question1) que je prend n=1 et a1=0
j'ai F(X)=X et il n'existe alors pas de P,Q de degré superieurs ou égal à 1 tel que PQ=1+F²...
non?
ok non mais parce que le but de l'exercice c'était de faire un long raisonnement par l'absurde...
En supposant donc d'abord que 1+F² était réductible,on montrer qu'il existait P,Q de degré >=1 et unitaires tel que 1+F²=PQ...etc...
or si F=X,on peut pas trouver ces polyniomes P et Q...
Enfin bref,je crois que je m'embrouille...
Merci à toi Frenicle et à tous les autres également!
Bonne nuit!
De rien
Question subsidiaire :
Quand on remplace Z[X] par R[X], la conclusion devient fausse : un polynôme de degré > 2 est toujours réductible sur R.
Qu'est-ce qui cloche alors dans le raisonnement ci-dessus ?
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