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Position d'un cercle et d'une droite avec GeoGebra
Bonjour à tous,
J'ai un devoir maison à faire et je suis bloqué sur cet exercice :
Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on considère le cercle (
) de diamètre [AB] abs A(3;2) et B(7;-4) et la droite Dm passant par l'origine et de coefficient directeur m, avec m réel. On cherche à déterminer, selon les valaurs de m, si la droite Dm est tangente, sécante ou extérieure au cercle ().
1) Réaliser une figure à l'aide du logiciel GeoGebra
2) Conjecturer les Valeurs de m pour lesquelles la droite Dm est tangente au cercle et celles pour lesquelles la droite Dm est sécante au cercle.
3) a) Lorsque m=-1, démontrer que la droite D-1 est sécate au cercle et calculer les coordonnées des points d'intersection de D-1 et du cercle. Vérifier les résultats à l'aide de la figure faite au 1).
b) Démontrer les conjectures du 2)
c) Dans le cas où la droite Dm est tangente au cercle, déterminer les coordonnées du point de contact. (Les calculs seront fait soigneusement et de la façon la plus simple.)
J'ai donc réussi la question 1 et 2 et je suis bloqué pour la question 3. Voici mes réponses :
1) Voir ficher joint
2) Après avoir contruit le cercle de diamètre [AB], on crée un curseur m, puis la droite Dm d'équation : y=mx.
En fesant varier m, on constate que :
- Pour m=0.67 et m=-1.5, la droite Dm est tangente au cerccle
- Pour m 
[-1.5; 0.67], la droite Dm est sécante au cercle
3) a) Quand m=-1, la droite Dm a pour équation y=-x, et coupe le cercle en deux points. Le cercle a pour équation : (x-5)²+(y+1)²=13 (donnée par GeoGebra). Les coordonnées des points d'intersection de Dm et d cercle sont solutions du système :
y=-x
(x-5)²+(y+1)²=13
Après développement de ce système on obtient :
y=-x
2x²-12x+13=0
Ensuite on calcule le discriminant (
=40x²) puis on calcule les 2 racines :
x1= (12x-2x
10)/4x²
x2= (12x+2x10)/4x²
(Je suis donc bloqué ici , car je n'arrive pas à trouver x1=1.42 et x2=4.58 (qu'on peut lire sur GeoGebra)
Merci d'avance de votre aide,
Je ne comprends pas tes expressions de x1 et x2 : elles contiennent x et x² !
Elles devraient être des expressions purement numériques.
Reprends la résolution de l'équation.
Merci beaucoup pour avoir répondu aussi rapidement
Effectivement je mettais trompé sur les racines x1 et x2, je trouve donc :
x1= (12-210)/4=1.42
x2= (12+210)/4=4.58
Et pour le reste pouvez vous me donner quelques pistes.
Merci d'avance
J'ai donc essayé de résoudre le système :
y=mx
(x-5)²+(mx+1)²=13
Mais je ne sais pas si c'est sa car j'aboutit à une expression comme ceci : (m+1)x²+(2m-10)x+13=0 pour calculer le discrimant et ensuite les racines mais je n'arrive pas à cause de "m". ( je trouve comme discrimant : =2m²-12m+48)
Merci de votre aide
Il y a une faute dans ton équation.
La droite devient tangente au cercle si les deux points d'intersection se rapprochent pour être finalement confondus. L'équation, dont les solutions sont les abscisses des points d'intersection, a alors une solution double.
Ecris donc la condition pour qu'il en soit ainsi, ce qui te donnera une équation du second degré en m dont les solution sont les "m" des tangentes.
Je ne comprend pas pourquoi il faut écrire cette condition et l'équation que l'on obtient ainsi, avec une solution double .
Merci de votre aide
Puisque tu as fait ta figure avec Géogébra, tu dois pouvoir faire tourner la droite autour de son point fixe.
Ce faisant, tu verras les points d'intersection se déplacer avec la droite et se rapprocher l'un de l'autre jusqu'à se confondre.
La droite est alors tangente au cercle, et l'équation aux abscisses des points d'intersection a une solution double.
J'ai compris pour la condition alors mais pour l'équation c'est toujours le système, qu'il faut résoudre :
y=mx
(x-5)²+(mx+1)²=13
Et ensuite calculer la racines quand Delta sera égal à 0 ?
Donc j'ai résolu le système :
y=mx
(x-5)²+(mx+1)²=13 (E)
Je calcule donc E séparément pour trouver les solutions.
(E)
x²-10x+25+mx²+2mx+1-13=0(m+1)x²+(-10+2m)x+13=0
Je calcule donc le dicrimant :
=4m²-92m+48
Et la comment je fait pour trouver quand le discriminant est nul ? Je réutilise un discriminant pour trouver les racines et ainsi connaitre la valeur de M ?
Donc j'ai essayé de calculer quand le dicriminant est nul :
4m²-92m+48=0
=b²-4ac=7696
Comme delta est positif, l'équation a 2 solutions :
x1= (92-7696)/8
x2= (92+7696)/8
Donc les valeurs de m pour lesquelles la droite Dm est tangente au cercle sont : x1 et x2 soit (92-7696)/8 et (92+7696)/8.
Et là est-ce fini ? ou il faut faire autre chose?
Ces valeurs de m sont assez barbares !
Essaie de les simplifier et vois si elles correspondent aux valeurs conjecturées au 2).
Je pense que ce n'est pas bon car je trouve :
x1= (92-7696)/8 = 23/2-2481
x2= (92+7696)/8 = 23/2+2481
(Même en regardant la valeur approché de (92-7696)/8 et de (92+7696)/8 je ne trouve pas quelque chose de cohérent avec le dessin)
Merci de votre aide
Salut, j'espère que ce n'est pas trop tard, mais je crois que tu t'es trompé au niveau du discriminant.
Tu aurais dût faire :
= b^2 -4ac
= (2m-10)^2 - 4(m+1)(-13)
= 4m^2 -12m + 152
Dis moi si tu trouves de meilleurs résultats stp 
Désolé pour les ^2, mais je suis sur portable et le carré ne marche pas ici.
Bonjour,
Merci pour ta réponse je suis toujours bloqué.
Alors j'ai essayer de retrouver les valeurs de m en calculant les solutions de l'équation 4m²-12m+152=0, cependant en calculant le discriminant de ce trinôme je trouve un discriminant nul :
=b²-4ac=-12²-4*4*152=-2288
Mais je pense qu'il y a qu'un point d'intersection entre Dm et le cercle dont la valeur de m est m=-1.5 car la dernière question est de calculer les coordonnées DU point de contact.
Merci d'avance en attendant de nouvelles aides
Je reprends le calcul (déterminer m pour les tangentes au cercle passant par l'origine).
Le cercle : (x - 5)² + (y + 1)² = 13
La droite Dm : y = mx.
Equation aux abscisses des points d'intersection : x² - 10x + 25 + m²x² + 2mx + 1 = 13
(1 + m²)x² + (2m - 10)x + 13 = 0
Pour que Dm soit tangente, il faut que l'équation ait une solution double, donc que son discriminant soit nul.
Delta = (2m - 10)² - 4*13(1 + m²) = -8(6m² + 5m - 6) = 0.
Discriminant de cette dernière équation : 25 + 4*36 = 169 = 13².
D'où les deux valeurs de m : (- 5 ± 13)/12 = 2/3 ou - 3/2.
Voilà.
Merci beaucoup pour cette réponse donc je vais donc essayer de trouver la dernière question.
Il faut donc résoudre deux systèmes :
y=2/3x et y=-3/2
(x-5)²+(y+1)²=13 (x-5)²+(y+1)²=13
Je vais donc résoudre ces deux systèmes pour calculer les coordonnées du points de contact .
Cherche d'abord s'il n'y aurait pas mieux à faire.
Il est demandé dans l'énoncé de faire les calculs "de la façon la plus simple".
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