Niveau Maths sup

Positivité d'une matrice et valeurs propres

Posté par
athrun 11-07-11 à 12:58

Bonjour,

voilà un énoncé classique, et je ne suis pas sûr d'une de mes solutions. Je les ai notées 1) et 2), la 1) étant celle où je doute, mais elle m'a semblée intéressante dans le cadre où elle fait intervenir les applications linéaires (inversibles).

Définition : A est positive si et seulement si $\large\forall X\in\mathbb{R}^n,\ (AX|X)\geq0.$

Montrons que si $\large A\in S_n(\mathbb{R})$ est positive, alors toutes ses valeurs propres sont positives.

$\large A$ est symétrique réelle donc $\large\exists \Omega\in O_n(\mathbb{R}),\ \exists D\in D_n(\mathbb{R}),\ A=\Omega D\Omega^{-1}=\Omega D^t\Omega$ .

Où $\large D=$ \begin{pmatrix} \\ \lambda_1&&0 \\ \\ &^.._.& \\ \\ 0&&\lambda_n \\ \end{pmatrix}$$ avec les $\large(\lambda_i)_{1\leq i\leq n}$ les valeurs propres de A.

1) Soit $\large X\in\mathbb{R}^n,\ (AX|X)=^tXAX=^tX\Omega D^t\Omega X=^t(^t\Omega X)D^t\Omega X$ . On pose $\large x'_i=[^t\Omega X]_i$ et il vient $\large(AX|X)=\sum_{i=1}^n\lambda_ix'_i^2$ .

Et là réside ma question : l'astuce est de construire un vecteur $\large X'=^t\Omega X$ tel que :

$X'=$ \begin{pmatrix} \\ 0 \\ \\ . \\ \\ 0 \\ \\ 1 \\ \\ 0 \\ \\ . \\ \\ 0 \\ \end{pmatrix}$$ avec $\large1\leq i\leq n$ .

$\large X$ décrit $\large\mathbb{R}^n$ et puisque $\large ^t\Omega$ est bijective, $\large X'=^t\Omega X$ décrit aussi $\large\mathbb{R}^n\ :\ \mathbb{R}^n=^t\Omega(\mathbb{R}^n$ ).

Ainsi il n'y a aucun problème pour la construction des $\large X'$ puisque $\large X$ est quelconque. Et je montre la première implication $\large\forall i\in\{1,...,n\},\ \lambda_i\geq0$ .

2) Évidemment il y avait plus simple au cas où vous auriez voulu le faire remarquer : soit $\large\lambda\in sp(A),\ \exists X\in\mathbb{R}^n,\ X\neq0,\ AX=\lambda X\ \Rightarrow\ (AX|X)=(\lambda X|X)=\lambda(X|X)=\lambda\|X\|^2\geq0 \Leftrightarrow\ \lambda\geq0$ .

Qu'en pensez-vous ?

Posté par re : Positivité d'une matrice et valeurs propres 11-07-11 à 13:23

Salut

La 1) est correcte mais la 2) est bien plus rapide

Posté par re : Positivité d'une matrice et valeurs propres 11-07-11 à 13:35

Ok merci je voulais juste savoir si la 1) était correcte !

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