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Pour la culture : espace vectoriel et affines
Quelques questions classiques pour ceux qui ne connaitrait pas et ceux qui veulent s'amuser un peu :
1) Montrez que si E est un k -espace vectoriel réunion de m+1 sous-espaces vectoriel stricts alors le cardinal de k est =< m .
2) Prouvez que si le cardinal de k est m alors E est union de m+1 sous-espaces stricts.
3) Que se passe-t-il quand on remplace partout vectoriel par affine dans les questions précédentes ?
Bonjour lolo, 
Moi? Aimer déterer des topics? Jamais! 
1) Soit un
-espace vectoriel réunion de m+1 sous-espaces vectoriel stricts.
Supposons que admette au moins m+1 éléments.
On sait par hypothèses que peut s'écrire sous la forme
où les
sont des sous espaces stricts de
.
On ne perd rien à supposer que n'est pas inclus dans
.
Ainsi il existe dans
mais pas dans
et
dans
mais pas dans
.
On considère les éléments pour
(il y en a au moins m+1 distincts). Aucun d'entre eux n'est dans
(sinon
y serait aussi puisque
est un sous groupe de
) donc ils sont tous dans
. Comme on a au moins au moins m+1 éléments distincts, il y a au moins un
(
) qui en contient deux distincts; disons par exemple
et
. Alors
et donc
sont éléments de
. Absurde!
Donc k a au plus m éléments!
2) J'y arrive vraiment pas. 
J'ai essayé avec des exemples simples mais je trouve pas de méthode générale...
Tu peux donner un nain dix stp? 
5 you.
Ayoub.
Je croyais plus à une réponse à celui là
Très bien pour le 1) .
Pour le 2) évidemment mieux vaut utiliser des hyperplans.
Ah, c'est bien ce que je cragnais: une preuve constructive!
Mais quelle définition donnes-tu à un hyperplan dans le cas quelconque? (E n'étant pas a priori de dimension finie sur k).
Désolé mais en prépa on a la sale manie de ne travailler qu'en dimension finie.
Hyperplan = noyau d'une forme linéaire non nulle.
La preuve est quasi la même en dim finie ou infinie.
((Tu prends une base e1,e2 et des autres (éventuellement en nombre infini) .))
Re,
2) Soit un espace vectoriel sur un corps fini
.
On considère une base de
sur
. (J'ai longtemps hésité sur le nom que j'allais donné à ma base et finalement j'ai décidé d'être original pour une fois
).
On suppose que a au moins deux éléments que je note
et
(très très original aussi n'est ce pas?
) (au fait sinon le résultat est faux... ).
On note et
les coefficients de
et de
de la décomposition d'un élément
de
dans la base
.
On considère les n+1 sev propres de définis ainsi:
- .
- .
Tous les Fi sont des sev propres et leur union fait bien .
3) Bon, pour la question 2) en remplaçant "vectoriel" par "affine" ça reste vrai puisqu'un sous espace vectoriel est un sous espace affine.
Par contre, si tu sous-entends par là "sous espace affine non vectoriel" alors là, je sais pas.
Bref pour la 3), je vais attendre paisiblement la correction.
Ayoub.
c'est très bien pour la 2) , alors pour la 3 la question est de savoir en fonction du cardinal du corps quel est le nombre minimal de sous-espaces AFFINEs stricts nécessaire à recouvrir l'espace.
Exemple si E est le plan sur le corps fini F2.
Alors E est réunion de trois droites vectorielles conformément au b).
Mais il est clair que E est réunion de 2 droites affines.
bref ceci permet de deviner le résultat attendu .
Comme tu me sembles très doué, je donne juste les indications (et j'ai la flemme de taper la solution) :
a) faire pareil en remplaçant les combinaisons linéaires par des barycentres
b) faire pareil avec des formes affines au lieu de formes linéaires.
Ah donc le résultat reste vrai même pour les espaces affines?! Eh ben, moi qui pensais que c'était faux...
Ok, je vais essayer de voir ça.
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