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PPCM et PGCD : vérification
L'énoncé est :
Soit n, un entier naturel tel que le PPCM de n et de 6 est 96.
La question est : déterminer les valeurs possible de n.
Ma solution :
PPCM (n;6) = 96
décomposition en facteurs premiers de 96: 96 = (2^5)*(3^1)
Or 6 = 2^1 * 3^1
Donc n = (2^5)*(3^0) = 32
ou n = (2^5)*(3^1) = 96
Donc n = 96 ou 32
C'est juste ?
..on peut aussi faire
ppcm(n,6)= 6n/pgcd(n,6)
les diviseurs de 6 sont 1,2,3,6
si pgcd(n,6)= 1 alors n = 16 ne convient pas
si pgcd(n,6)= 2 alors n = 32 convient
si pgcd(n,6)= 3 alors n = 48 ne convient pas
si pgcd(n,6)= 6 alors n = 96 convient
Pour aller plus loin avec l'idée de flight !
ppcm(n,6)x pgcd(n,6)= 6n
Soit d = pgcd (n,6).
96 d = 6 n donc n = 16 d.
d = pgcd(16d,6) = 2 pgcd(8d,3)donc d est un multiple de 2.
d est multiple de 2 et dd est un diviseur de 6 donc les seules valeurs possibles de d sont 2 et 6.
Pour d = 2 , n = 32 et ppcm(32,6) = 96.
Pour d = 6 , n = 96 et ppcm(96,6) = 96.
Une méthode plus longue mais pourquoi pas !
ppcm(n,6)=96 donc n est un diviseur de 96.
Les diviseurs de 96 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 32 ; 48 ; 96
Il reste 12 vérifications à faire.
Si on remarque que ppcm(6,n) <= 6n donc 96 <= 6n donc16<=n.
Il reste 5 vérifications à faire.
On voit ici qu'il est préférable d'utiliser le pgcd car la résolution est plus courte.
Cordialement.
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