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prépa ECS polynôme
Bonjour à tous. Si quelqun pouvait juste un peu m'éclairer sur un exercice ça m'aiderait beaucoup :
Soit T:
[X]
[X]
définie par T(P) = (1-pX)P + X2P' où p
, p
1.
1) Montrer que si P[X] vérifie T(P)=0 alors P est le polynôme nul. En déduire que T est injective.
2 Etudier la surjectivité de T.
Merci beaucoup d'avance.
Bonjour,
qu'as tu fait ?
T(P)=0 équivaut à dire que
(1-pX)P+X^2P' = 0
Tu as deux possibilités:
Soit tu poses P(X)=a_nX^n+...+a_1X+a_0 et tu regardes ce qui se passe pour les coefficients si T(P)=0.
Selon moi c'est très facile.
Soit tu résouds l'équation différentielle et tu montres que la seule solution qui soit bien un polynôme est la solution nulle.
Le "en déduire" est trivial.
Pour la surjectivité, ce n'est pas difficile, par exemple, que penser des polynômes constants ?
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