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Preuve d'un lemme, nombre d'élément de Zn

Posté par
fusionfroide 22-09-07 à 23:18

Salut ^^

Lemme : $\mathbb{Z}_n$ a exactement $n$ éléments.

Preuve :

Pour $a \in \mathbb{Z}$ , l'algorithme d'Euclide donne : $a=qn+r$ avec $0 \le r < n$

Ainsi, $n$ divise $a-r$ et donc $[a]=[r]$
Donc $\mathbb{Z}_n=\{[0],[1],...,[n-1]\}$

De plus, si $0\le a,b < n$ , et $[a]=[b]$ alors $|a-b| < n$ et il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $a-b=nk$

D'où $|a-b| < n$ et il existe $k \in \mathbb{Z}_n$ tel que $|a-b|=n|k|$
Donc $k=0$ donc $a=b$
Donc $\mathbb{Z}_n$ a exactement $n$ éléments.

Ce que je ne comprends pas :

->Pourquoi prend-on $[a]=[b]$ (à partir de "de plus") ?

->Je ne vois pas comment on peut conclure quand au nombre exact d'éléments ?

Posté par re : Preuve d'un lemme, nombre d'élément de Zn 23-09-07 à 00:01

Re

On a molntré que $3$\rm Z_{n}=\{[0],[1],...,[n-1]\}$ mais on veut montrer que tout les éléments de cet ensemble sont bien distincts. Donc on suppose qu'on a deux a et b tels que [a]=[b] et on montre alors que a=b ce qui permet de conclure que ces éléments sont bien distincts et qu'il y a bien n éléments dans Zn

Posté par re : Preuve d'un lemme, nombre d'élément de Zn 23-09-07 à 03:12

Il me semble que c'est trivial, tous les nombres de 1 a n ont des restes qui valent exactement 1,...,n-1,0
et il est clair que l'on ne peut pas avoir plus de reste (par définition du reste).

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