Bonsoir izaabelle

Si toutes les normes sont équivalentes, alors la continuité d'une application linéaire est une notion indépendante du choix de la norme.
Il suffit donc de trouver une norme pour laquelle la forme linéaire est continue.

Kaiser

aaaaaaaah ok je comprend mieux!!

merci beaucoup Kaiser de t'interesser à mes posts, qu'est ce que je ferais sans toi!!

Mais je t'en prie !

Bonsoir.
Cette question ne serait-elle pas liée à la compacité de la boule unité, auquel cas l'espace serait de dimension finie et par suite toute forme linéaire serait continue ? (Ce n'est qu'une hypothèse de travail).
Cordialement RR.

en parlant de boule unité, c'est bien une sphère?

La boule unité est définie par ||x||1, la sphère unité par ||x|| = 1.
La sphère est la frontière de la boule.
Cordialement RR.

merci pour les éclaircissements

euh!!..finalement je n'arrive pas à démontrer que f est lipshitzienne! :(

je bloque au niveau de la norme, j'ai considéré la norme infinie mais je n'arrive pas à expliciter les choses

non c'est bon, je l'ai démontré!!

merci à tous

Il a été posé en tout début de ce sujet : E un espace vectoriel où toutes les normes sont équivalentes. A-t-on : alors toute forme linéaire sur E est continue.
J'ai tenté d'invoquer la compacité de la boule unité qui ferait de E un espace de dimension finie, auquel cas toute forme linéaire serait continue, mais je ne suis pas sûr du tout de mon intuition. Un analyste ayant travaillé sur le théorème de Riesz peut-il prendre le relais ?
Cordialement RR.

Bonsoir raymond

Si je comprends bien, ton intuition serait la compacité la boule unité (auquel cas, le théorème de Riesz impliquerait que E est de dimension finie) ?
D'un autre côté, je pense que la compacité de la sphère unité suffit (cependant, je ne suis pas non plus sûr que cette compacité soit avérée).

Kaiser

Raymond, tu me fais peur avec les termes que tu utilise

mais c'est amusant aussi d'aller chercher des théories qui m'étaient inconues jusqu'à présent.

une dernière chose, quelqu'un pourrait me conseiller sur la méthode à adopter pour retrouver ma logique mathématique et la facilité que j'avais à démontrer les choses , depuis quelques temps déjà, en cessant de bosser comme une dingue comme je le faisais avant, je n'arrive plus à faire les exercices jusqu'au bout :(

Oubliez ce que j'ai dit sur la compacité de la sphère unité. je crois que c'est faux !

C'est bon, je crois bien que j'ai trouvé.
Tout d'abord, il est clair que la forme linéaire nulle est continue.
Maintenant, soit f une forme linéaire non nulle.
Considérons donc un élément a de E tel que f(a) soit non nul (quitte à diviser a par f(a), on peut toujours supposer que
f(a)=1.
Alors on peut montrer assez facilement que .

Soit x un élément de E.
D'après ce qui précède, .
On définit alors où désigne la norme initiale dont E est muni.
Il est assez facile de voir que N est une norme sur E et que pour tout x de E, on a l'inégalité .
Ainsi, f est continue sur et donc par équivalence des normes, f est continue sur

Kaiser

izaabelle
La difficulté, en mathématiques, est ce raffinement des idées et l'abstraction grandissante que l'on observe au fur et à mesure que l'on avance vers les sommets. Alors, il n'y a rien d'étonnant à ce que l'on soit de moins en moins à l'aise. Je pense que ton enthousiasme te fera aller très haut, c'est ce que je te souhaite.
kaiser
J'esaie de retrouver toutes ces notions dans Dieudonné, cela risque de me prendre du temps !
Cordialement à tous les deux RR.

merci Raymond, tu me remontes le moral!! j'en ai les larmes les yeux tellement je suis soulagé d'entendre ça.

merci

P.S.: tiens, le prof d'analyse nous a fortement conseillé de bosser sur Dieudonné! je vais aller le consulter à la bibliothèque

kaiser.
Nos post se sont croisés. Dans ton dernier message, tu utilises la décomposition classique entre le noyau et un supplémentaire. Mais, cette somme directe n'est topologique que si l'un ou l'autre des projecteurs associés est continu. D'autre part, ce noyau risque d'être partout dense, justement en cas de non continuité de f. Tout ceci pour doûter de l'existence du "y" dans la décomposition. Là encore, ce ne sont que des formulations, tu as peut-être raison. Je retourne dans Dieudonné !
Cordialement RR.

On peut écrire explicitement cette décompsition :

avec et .

kaiser.
En reprenant ta démonstration, je suis convaincu. J'ai pensé aussi à la contraposition : si f était une forme linéaire discontinue pour ||.||, ta construction la rendrait continue pour N : N et ||.|| ne sont pas équivalentes.
Remarque : ta construction de N est utilisée pour rendre unitaire une algèbre normée (Rudin analyse fonctionnelle). Encore merci à tous les deux pour cette collaboration.
Bonne soirée RR.

Bonjour raymond

Je crois qu'on peut encore faire mieux (c'est-à-dire sans utiliser l'artillerie lourde !)
Si on pose , N est une norme sur E pour laquelle f est continue et donc c'est terminé.

kaiser

Bravo !
Cordialement RR.

Merci !

histoire de mettre des mots sur des maux, aujourd'hui 4h de séance d'humiliation habituelle devant toute la classe! :( j'étouffes :(

allez hop! on double les heures à bosser sur les maths, faut que j'arrive à dépasser mes erreurs et mes lacunes!

je compatis, j'ai connu ça. Il y a des gens qui extraient la racine 13ème d'un
nombre à 100 chiffres de tête, c'est même une rubrique du livre des records.
Alors tu sais, faut relativiser tout ça... on a tous un meilleur que nous et un moins
bon que nous.
Courage !

merci de me remonter le moral. c'est un prof comme ça qui a réussi à me faire perdre confiance en moi 3 ans auparavant! je ne refais plus la même erreur, à moi de relativiser et d'aller de l'avant.

ça va mieux maintenant, je me dis que je dois être forte et que je dois dépasser tout ça pour moi même et pour mon avenir.

je fais confiance à mes capacités et je crois que chacun peut améliorer son niveau avec le travail..

merci Jerk

Bonsoir;
Juste une remarque:
Soit un espace vectoriel,
(*)Deux normes et sont dites équivalentes si on peut trouver deux réels strictement positifs et tels que .
(*)Deux normes et sont dites topologiquement équivalentes si elles engendrent la même topologie sur autrement dit si les ouverts de sont exactement ceux de .
Deux normes équivalentes sont topologiquement équivalentes mais la réciproque est fausse.
Dans l'énoncé d'izaabelle je crois que l'équivalence topologique suffit.
C'était juste une remarque sinon la démonstration de kaiser est excellente.
Sauf erreurs bien entendu

Tu vas me faire rougir !
Sinon, tu fais bien de remarquer ceci : c'est bon à savoir !

oookkkkkay maintenant je comprend pourquoi le prof parle de topologiquement équivalentes alors que personne ne comprend de quoi il parle :p !!!!

merci abdelali j'appréçie énormément

A ton service izaabelle