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preuve que e^x = lim (1+1/n)^n

Posté par
Gabrielv
16-03-21 à 19:05

Bonsoir !

Dans le cadre d'une démonstration de la formule d'Euler, j'aimerai commencer par prouver que e^x = lim_{n \to \infty } (1+\frac{x}{n})^n .
J' ai déjà prouvé que e= lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n , est-ce que je peux partir de là pour trouver e^x ?
Sinon j'ai pour l'instant dit que (1+\frac{x}{n})^n = e^{n \times ln(1+\frac{x}{n})}
mais je n'arrive pas à prouver que la limite de l'exposant est x...
Auriez-vous des pistes ?
Merci d'avance !

Posté par
matheuxmatou
re : preuve que e^x = lim (1+1/n)^n 16-03-21 à 19:08

bonsoir

on remarquera que

n \times \ln\left(1+\dfrac{x}{n}\right) = x \times \dfrac {\ln\left(1+\dfrac{x}{n}\right)}{\dfrac{x}{n}}

Posté par
lake
re : preuve que e^x = lim (1+1/n)^n 16-03-21 à 19:21

Bonsoir à tous,

Rien de neuf mais tout de même :

  

Citation :
Dans le cadre d'une démonstration de la formule d'Euler ...


  Le Suisse a été prolifique. C'est pourquoi j'ose poser la question (comme pour la primitive) :

Laquelle ?



  

Posté par
Gabrielv
re : preuve que e^x = lim (1+1/n)^n 16-03-21 à 19:23

Merci pour la réponse !


Donc n ln(1 + \frac{x}{n}) = x \times [\frac{ln(1+\frac{x}{n})-ln(1)}{\frac{x}{n}}]Donc quand n \to \infty , on a \frac{x}{n} \to 0 et donc x \times [\frac{ln(1+\frac{x}{n})-ln(1)}{\frac{x}{n}}]=x ln'(1)=x ?

Posté par
Gabrielv
re : preuve que e^x = lim (1+1/n)^n 16-03-21 à 19:26

lake @ 16-03-2021 à 19:21

Bonsoir à tous,

Rien de neuf mais tout de même :

  
Citation :
Dans le cadre d'une démonstration de la formule d'Euler ...


  Le Suisse a été prolifique. C'est pourquoi j'ose poser la question (comme pour la primitive) :

Laquelle ?



  
[code][/code]
Haha oui Euler es trop fort ! Je parle de e^{ix}=cos(x)+isin(x) et tant qu'à faire e^{i \pi}+1=0

Posté par
Gabrielv
re : preuve que e^x = lim (1+1/n)^n 16-03-21 à 19:27


Citation :
es trop fort
*est



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