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primitive fonction

Posté par
florian2309
14-01-17 à 11:20

Bonjour

j'ai un devoir maison où on me demande de déduire la primitive F de la fonction f telle que F(1) = 0 pour la fonction suivante : f(x) = x^2/4 - 1 - 2lnx. ? J'ai bien réalisé la première partie du devoir à savoir la dérivée, le tableau de variation et l'intervalle mais là je bloque. Pourrait-on m'aider ?
Merci

Posté par
Jedoniezh
re : primitive fonction 14-01-17 à 11:25

Bonjour,

Je ne sais pas si il y a des "astuces" avec les questions d'avant, mais tel que tu nous donnes l'énoncé, il te faut intégrer  f(x) = x^2/4 - 1 - 2lnx

Posté par
Jedoniezh
re : primitive fonction 14-01-17 à 11:26

C'est bien cela ta fonction ?

f(x) = \dfrac{x^2}{4} - 1 - 2\ln x

Posté par
florian2309
re : primitive fonction 14-01-17 à 11:36

Bonjour

Oui c'est bien cela la fonction et la cela fait partie d'une première fonction nomée g(x) = xlnx - x donc j'ai déterminé la fonction g' dérivée de la focntion g. dans la seconde partie en demande la déduction de la primitive F de la fonction f telle que F(1) = 0. La fonction f(x) étant la première partie du devoir que j'ai réalisée.

Merci de votre aide

Posté par
Jedoniezh
re : primitive fonction 14-01-17 à 11:39

Une primitive de \ln x est (x\ln x -x +k)\text{ avec }k\in\R

Posté par
Jedoniezh
re : primitive fonction 14-01-17 à 11:42

... donc

F(x) = \dfrac{x^3}{12} - x - 2(x\ln x -x)+c\text{ avec }c\in\R

donc F(1)=0\Longleftrightarrow ...

Posté par
florian2309
re : primitive fonction 14-01-17 à 11:43

Je ne comprends pas votre réponse. Je n'arrive pas à l'appliquer sur la fonction. Notre prof nous a dit qu'il fallait bien réfléchir à la question c'est une épreuve maths 1997. Pourriez-vous me détailler un peu car franchement j'ai un peu de difficultés.

Merci beaucoup

Posté par
Jedoniezh
re : primitive fonction 14-01-17 à 11:45

Déjà, tu nous aurais mis ton exact et complet énoncé, on y verrait plus clair ...

Sais-tu intégrer g(x)=\ln x  ?

Posté par
littleguy
re : primitive fonction 14-01-17 à 11:54

Bonjour,

Juste de passage, :

Citation :
Oui c'est bien cela la fonction et la cela fait partie d'une première fonction nomée g(x) = xlnx - x


Il faut utiliser cette partie.

Posté par
florian2309
re : primitive fonction 14-01-17 à 12:10

Désolé je ferai mieux la prochaine fois si besoin. Pouvez-vous m'indiquer pourquoi le k se transforme en c et je n'ai jamais vu en cours l'intégration de g(x) = ln(x). Et je n'ai pas abordé dans mon cours les primitives car le prof a survolé car cela ne devrait pas tomber au bac.
Je vais réécrire le sujet :
On considère la fonction numérique f définie sur l'intervalle I= [1;6] par :
f(x) = x^2/4-1-2ln(x) et sa courbe représentative C dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'unité graphique : 2cm
1. Déterminer la dérivée f'(x) de la fonction f; vérifier que, sur l'intervalle I, on a :
f'(x) = (x^2-4)/2x
2. Etudier sur l'intervalle I le signe de f'(x) et établir le tableau de variation de la fonction f
3. Tracer la Courbe C
4. Soit g la fonction définie sur l'intervalle I par:
g(x)= xlnx-x
a) Déterminer la fonction g' dérivée de la fonction g
b) En déduire la primitive F de la fonction f telle que F(1)=0.

Voila j'ai réussi tout jusqu'au 4.a je suis bloqué sur la partie b.
Et je ne comprends pas comment vous arrivez à la primitive.
Merci de votre aide  

Posté par
Jedoniezh
re : primitive fonction 14-01-17 à 12:11

Citation :
pourquoi le k se transforme en c

k ou c, peu importe, c'est une constance (un réel).

Il faut que tu utilises la première partie.

Posté par
florian2309
re : primitive fonction 14-01-17 à 12:32

J'ai compris comment arriver à x^3/12 - x -2lnx +k
Mais je ne comprends pas ce qu'est le k ?
car en remplacant x par 1 je ne tombe pas sur 0 ....
merci

Posté par
littleguy
re : primitive fonction 14-01-17 à 13:33

Justement il s'agit de déterminer la valeur de k pour laquelle F(1)=0.

Posté par
Jedoniezh
re : primitive fonction 14-01-17 à 13:59

Soit m la fonction telle que :

m(x)=2x

alors les 2 fonctions F et G suivantes

F(x)=x^2+5 \\\\G(x)=x^2+12

sont des primitives de m(x).

Dérive les, et tu verras.

Posté par
florian2309
re : primitive fonction 14-01-17 à 14:25

Effectivement que je dérive  F(x) et G(x) j'obtiens le même résultat 2x puisque le dérivé de x^2 est 2x et d'un nombre entier c'est zéro, cela revient au même pour les deux donc pour une même fonction je peux avoir 2 primitives différentes c'est bien cela ? Par contre comment obtenir F(1) = 0, cela reviendrait à déterminer si j'ai bien compris x^3/12 - x -2lnx +k = 0 pour la valeur de x = 1 ?

Merci de votre réponse

Posté par
Jedoniezh
re : primitive fonction 14-01-17 à 14:27

Citation :
je peux avoir 2 primitives différentes c'est bien cela ?


Pas 2, mais une infinité, puisqu'elles dépendreons de la valeur de cette constante k que toi tu appelles dans ton post ci-dessus "nombre entier".

C'est donc cette valeur k qu'il va falloir chercher dans ton exercice.

Posté par
Jedoniezh
re : primitive fonction 14-01-17 à 14:28

... donc

F(x) = \dfrac{x^3}{12} - x - 2(x\ln x -x)+k\text{ avec }c\in\R

donc F(1)=0\Longleftrightarrow ...

Posté par
florian2309
re : primitive fonction 14-01-17 à 14:36

J'arrive à la valeur de k -13/12. C'est bien cela ?

Merci

Posté par
Jedoniezh
re : primitive fonction 14-01-17 à 14:38

Citation :
k -13/12

Posté par
florian2309
re : primitive fonction 14-01-17 à 14:51

C'est pas -1.08 la valeur de k ? En faisant mon équation sur F(x)  j'arrive à cela pourtant j'ai bien remplacé le x par 1 sachant que ln1 = 0.
par contre si je pars sur l'équation x^3/12 - x -2lnx +k = 0 je trouve 11/12 soit 0.92 c'est donc cela

Merci

Posté par
Jedoniezh
re : primitive fonction 14-01-17 à 14:55


k =-13/12 et non pas k -13/12

Posté par
florian2309
re : primitive fonction 14-01-17 à 14:59

Donc ma valeur de K pour F(1) = 0 est donc k= -13/12 ? Je suis désolé je n'avais pas mis le sigle égal par contre je suis ravi si j'ai bien compris grâce à votre aide. Par contre dites moi pourquoi je ne pars pas pour résoudre cette équation sur cette formule  x^3/12 - x -2lnx +k = 0.

Merci

Posté par
littleguy
re : primitive fonction 14-01-17 à 15:47

Les primitives de f sont les fonctions F telles que : F(x) = x^3/12 - x -2lnx +k, où k est un réel quelconque (il y en a donc une infinité)

La question est : trouver "la primitive F de la fonction f telle que F(1)=0" et non pas "résoudre F(x)=0".

L'inconnue n'est pas x (puisqu'on lui impose la valeur 1), mais k.

Bref, on cherche la valeur de k qui donnera F(1)=0

Posté par
florian2309
re : primitive fonction 14-01-17 à 15:56

En reprenant votre formule F(1) = 0 la valeur de k que je trouve est k = -13/12, c'est bien cela ? Mais pourquoi je ne trouve pas la même valeur de k pour F(x) = x^3/12 - x -2lnx +k sachant que ln1 = 0; je trouve la valeur k = -13/12 pour F(x) = x^3/12 - x -2(lnx-x) +k
Merci

Posté par
littleguy
re : primitive fonction 14-01-17 à 16:22

F(x) = x^3/12 - x - 2lnx + k

donc F(1) = 1^3/12 - 1 -2ln(1) + k = 1/12 - 1 + k = ...

or F(1) = 0 donc ...

Posté par
florian2309
re : primitive fonction 15-01-17 à 09:45

Donc F(1) = 0 quand k = 11/12. OK parfait j'ai bien compris, merci beaucoup de votre aide cela m'a été bénéfique.

Posté par
Jedoniezh
re : primitive fonction 15-01-17 à 10:02

F(x) = \dfrac{x^3}{12} - x - 2(x\ln x -x)+k\text{ avec }c\in\R

donc

F(1)=0\Longleftrightarrow \dfrac{1^3}{12} - 1 - 2(\cancel{1\ln 1} -1)+k=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{12} - 1 + 2+k=0\Leftrightarrow k=-\dfrac{13}{12}

Posté par
littleguy
re : primitive fonction 15-01-17 à 10:07

Oui Jedoniezh,

J'avais recopié bêtement l'expression (fausse) de florian2309 pour F(x).

Posté par
Jedoniezh
re : primitive fonction 15-01-17 à 10:13

Ça m'arrive aussi très souvent

Posté par
florian2309
re : primitive fonction 15-01-17 à 10:53

Je viens de refaire au propre mon exercice et j'ai compris la logique de la primitive j'ai pu refaire l'intégralité sans aucune difficulté et en ayant bien assimilé les différentes étapes. Merci beaucoup de votre aide cela m'a été précieux et permis de parfaitement comprendre.

Posté par
Jedoniezh
re : primitive fonction 15-01-17 à 13:05

Au plaisir.



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