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Primitives

Posté par
Samsco
06-06-20 à 15:13

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

Soit f et g les fonctions définies par :

f(x)=\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x} et g(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x+\sin x}

Déterminer successivement les primitives sur [0 ; π/2] de chacune des fonctions f+g , f-g , f et g

Réponses :

f(x)+g(x)=\dfrac{\cos² x+\cos x.\sin x+sin²x+\sin x.\cos x}{(\cos x+\sin x)²}=\dfrac{1+\sin(2x)}{(\cos x+\sin x)²}
Je ne vois pas comment faire

Posté par
Camélia Correcteur
re : Primitives 06-06-20 à 15:17

Bonjour

Bizarre ton f+g

Posté par
matheuxmatou
re : Primitives 06-06-20 à 15:21

bonjour

quand on fait 1/2+1/2 on ne réduit pas en quart

Posté par
Samsco
re : Primitives 06-06-20 à 15:23

Camélia @ 06-06-2020 à 15:17

Bonjour

Bizarre ton f+g


Qu'est-ce qu'il y a de bizarre ?

f(x)+g(x)=\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}+\dfrac{\sin x}{\cos x+\sin x}=\dfrac{\cos x(\cos x+\sin x)+\sin x(\cos x+\sin x)}{(\cos x+\sin x)²}=\dfrac{\cos²x+\sin x.\cos x+\sin²x+\sin x.\cos x}{(\cos x+\sin x)²}=\dfrac{1+2.\sin x.\cos x}{(\cos x+\sin x)²}=\dfrac{1+\sin(2x)}{(\cos x+\sin x)²}

Posté par
Samsco
re : Primitives 06-06-20 à 15:25

matheuxmatou @ 06-06-2020 à 15:21

bonjour

quand on fait 1/2+1/2 on ne réduit pas en quart

Je ne comprends pas ce que vous voulez dire

Posté par
Zormuche
re : Primitives 06-06-20 à 15:28

pas besoin de mettre au même dénominateur quand c'est déjà au même dénominateur

Posté par
Samsco
re : Primitives 06-06-20 à 15:31


f(x)+g(x)=\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}+\dfrac{\sin x}{\cos x+\sin x}=\dfrac{\cos x(\cos x+\sin x)+\sin x(\cos x+\sin x)}{(\cos x+\sin x)²}=\dfrac{(\cos x+\sin x)[(\cos x+\sin x)]}{(\cos x+\sin x)²}=1

Posté par
Samsco
re : Primitives 06-06-20 à 15:36

Zormuche @ 06-06-2020 à 15:28

pas besoin de mettre au même dénominateur quand c'est déjà au même dénominateur

Ah oui , j'ai pas fais attention

f(x)+g(x)=\dfrac{\cos x+\sin x}{\cos x+\sin x}=1
 \\  F(x)=x+c 
 \\ 
 \\ f(x)-g(x)=\dfrac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}
 \\ 
 \\ F(x)=\ln |\cos x+\sin x|+c=

Posté par
Zormuche
re : Primitives 06-06-20 à 15:37

pourquoi pas

Et si cos(x)+sin(x)=0 ? Il faudrait s'assurer que ça n'arrive jamais

Posté par
matheuxmatou
re : Primitives 06-06-20 à 15:37

mais qu'est ce que c'est que ce boulot ?

le dénominateur commun est cos(x)+sin(x) et pis c'est tout !

Posté par
Zormuche
re : Primitives 06-06-20 à 15:38

Finalement non, c'est déjà garanti par le fait que f et g sont bien définies

Posté par
flight
re : Primitives 06-06-20 à 15:40

salut

et meme ton  le numerateur de ton premier post  pouvait  se transformer en :
cosx.(cosx+sinx) + sinx(cosx+sinx)= (cosx+sinx)²

Posté par
Samsco
re : Primitives 06-06-20 à 15:44

flight @ 06-06-2020 à 15:40

salut

et meme ton  le numerateur de ton premier post  pouvait  se transformer en :
cosx.(cosx+sinx) + sinx(cosx+sinx)= (cosx+sinx)²


Oui c'est ce que j'ai fait à 15h 31

Posté par
matheuxmatou
re : Primitives 06-06-20 à 15:45

flight

remarque inutile puisque la réduction est un peu folklorique ! ils ont le même dénominateur non ?

Posté par
Samsco
re : Primitives 06-06-20 à 15:47

Pour f-g

Sur [0 ; π/2] ,

cos x ≥0 et sin x ≥ 0
sin x + cos x > 0

Donc F(x)=ln( cos x+ sin x )+c

Posté par
flight
re : Primitives 06-06-20 à 15:48

oui ca j'ai vu !...  c'etait juste pour qu'il rattrape le coup de sa manip de depart inutile , mais bon c'est fait à 15h31

Posté par
Samsco
re : Primitives 06-06-20 à 16:18

Samsco @ 06-06-2020 à 15:47

Pour f-g

Sur [0 ; π/2] ,

cos x ≥0 et sin x ≥ 0
sin x + cos x > 0

Donc F(x)=ln( cos x+ sin x )+c


Alors est ce que c'est juste ? 👆

Posté par
matheuxmatou
re : Primitives 06-06-20 à 16:51

incomplet
faut aussi justifier que la somme ne peut pas être nulle !

Posté par
Samsco
re : Primitives 06-06-20 à 17:17

Je ne sais pas comment démonter , j'ai juste remarqué grâce au cercle Trigo que les fonctions cos x et sin x ne peuvent pas être à la fois nulles

Posté par
Samsco
re : Primitives 06-06-20 à 17:44

j'ai trouvé un moyen ,

* On peut savoir si cos x+sin x s'annule en résolvant l'équation :

(E): cos x+sin x=0

(E) cos x=-sin x
sin(π/2-x)=sin(π+x)
π/2-x=π+x ou π/2-x=-x-π(impossible)
-2x=π/2
x=-π/4
-π/4 [0 ; π/2] donc sin x + cos x ne s'annule pas sur [0 ; π/2]

Posté par
matheuxmatou
re : Primitives 06-06-20 à 18:09

certes

sinon y'a plus simple :

comme ils sont tous les deux positifs ou nuls, la somme ne peut être nulle que si ils sont simultanément nul... ce qui n'est jamais réalisé puisque la somme de leur carré vaut 1

Posté par
Samsco
re : Primitives 06-06-20 à 19:42

D'accord ,c'est compris

Pour les primitives de f et g,
Je ne vois comment les trouver

Posté par
Pirho
re : Primitives 06-06-20 à 19:54

Bonjour,

en attendant le retour de matheuxmatou que je salue

si tu peux utiliser les calculs précédents, tu as presque fini.

pour f, par exemple,  on peut écrire:

f=\dfrac{1}{2}(f+g +f-g)

Posté par
carpediem
re : Primitives 06-06-20 à 19:56

salut

si f + g = u  et f - g = v il est facile d'exprimer f et g en fonction de u et v ...

Posté par
Samsco
re : Primitives 06-06-20 à 22:47

f+g=u.      et       f-g=v

f=u-g
f=u+v-f
2f=u+v
f=(u+v)/2

f(x)=\dfrac{1}{2}
 \\ 
 \\ F(x)=\dfrac{1}{2}x+c

Posté par
Samsco
re : Primitives 06-06-20 à 22:54

Euh dsl , c'est plutôt f+g qui vaut 1 et non u+v

Samsco @ 06-06-2020 à 22:47

f+g=u.      et       f-g=v

f=u-g
f=u+v-f
2f=u+v
f=(u+v)/2

\blue{f(x)=\dfrac{1+\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}}{2}=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)}
 \\ 
 \\ \blue{F(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\ln(\cos x+\sin x)\right)+c}

Posté par
Samsco
re : Primitives 06-06-20 à 23:03

On a:
f+g=u.           et         f-g=v  
g=u-f
g=u-(v+g)
g=u-v-g
2g=u-v
g=(u-v)/2

g(x)=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)
 \\ 
 \\ G(x)=\dfrac{1}{2}\left(x-\ln(\cos x+\sin x)\right)+c

Posté par
matheuxmatou
re : Primitives 06-06-20 à 23:13

voilà

Posté par
Samsco
re : Primitives 06-06-20 à 23:22

D'accord merci beaucoup



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