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Primitives de fonctions exponentielles et puissances.

Posté par
matheux14
05-03-21 à 00:29

Bonjour ,

Merci d'avance.

Dans chacun des cas suivants déterminer une primitive de f sur l'intervalle \text{I}

a) f(x)=\dfrac{e^{x}}{1+e^{2x}} ;  \text{I}=\R

b) x(x²+1)^{\sqrt{2}}  ;  \text{I}=\R

c) f(x)=\dfrac{(\ln x)^{\pi}}{x} ;  \text{I}=]1~ ; ~+\infty[

d) f(x)=\dfrac{2}{3^{x}} ;  \text{I}=\R

Réponses

a) f(x)=\dfrac{e^{x}}{1+e^{2x}}

Posons u(x)=1+2e^{2x}

u(x)=(1+e^{2x})'=2e^{2x}

==> f(x)=\dfrac{1}{2e^{x}}×\dfrac{un(x)}{u(x)}

f(x)=\dfrac{1}{2e^{x}×\dfrac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}}

Posté par
matheux14
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 05-03-21 à 00:30

a) f(x)=\dfrac{e^{x}}{1+e^{2x}}

Posons u(x)=1+2e^{2x}

u(x)=(1+e^{2x})'=2e^{2x}

==> f(x)=\dfrac{1}{2e^{x}}×\dfrac{u(x)}{u(x)}

f(x)=\dfrac{1}{2e^{x}}×\dfrac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}}

Posté par
Pirho
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 05-03-21 à 07:23

Bonjour,

==> f(x)=\dfrac{1}{2e^{x}}×\dfrac{un(x)}{u(x)}   à partir d'ici ça ne va pas

pose plutôt u=e^x

Posté par
matheux14
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 05-03-21 à 14:28

a) f(x)=\dfrac{e^{x}}{1+e^{2x}}

Posons u(x)=e^{x}

On a f(x)=\dfrac{u(x)}{1+u(x)²}

Posté par
Pirho
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 05-03-21 à 14:31

oui donc F(x)=?

Posté par
matheux14
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 05-03-21 à 15:13

Je ne vois pas  

Posté par
matheux14
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 05-03-21 à 15:19

Une primitive de  x\mapsto \dfrac{1}{1+x²} étant tan^{-1}(x)

Je peux affirmer que

F(x)=tan^{-1}(e^{x})

Mais est-ce que ça tient vraiment ?

Posté par
Pirho
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 05-03-21 à 15:56

oui c'est juste

si tu n'es pas convaicu, dėrive et tu verras!

Posté par
Pirho
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 05-03-21 à 16:25

convaincu

Posté par
matheux14
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 06-03-21 à 21:10

Bonsoir ,

Je parle de l'analogie ..

b) f(x)=x\left(x²+1\right)^{\sqrt{2}} , \forall x\in \R

f(x)=x×\left(x²+1\right)^{\sqrt{2}

Posons u(x)=x et v(x)=\left(x²+1\right)^{\sqrt{2}

Les primitives de u et v sont :

U(x)=1 et

V(x)=\dfrac{(x²+1)^{\sqrt{2}}}{2+2\sqrt{2}} car (x²+1)'=2x , fallait donc multiplier par 2 au dénominateur.

Du coup F(x)=\dfrac{(x²+1)^{\sqrt{2}}}{2+2\sqrt{2}}

2) f(x)=\dfrac{(\ln x )^{\pi}}{x}=(\ln x )^{\pi}×\dfrac{1}{x}=(\ln x)^{\pi}×(\ln x )'

Posons u(x)=\lnx \Rightarrow f(x)=u(x)^{\pi}×u'(x)

Donc F(x)=\dfrac{(\ln x)^{1+\pi}}{1+\pi}

d) f(x)=\dfrac{2}{3^{x}}=2×3^{-x}

Posons u(x)=3^{-x}

Alors _{u'(x)=-3^{-x}\ln3} (j'ai trouvé la formule de _{(a^{x})'=a^{x}\lna} sur internet sans comprends pourquoi. )

Donc F(x)=-\dfrac{2×3^{-x}}{\ln3}

Posté par
matheux14
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 06-03-21 à 21:11

_{(a^{x})'=a^{x}\ln a}

J'ai pas compris pourquoi ..

Posté par
Pirho
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 06-03-21 à 22:02

avant d'aller plus loin

je ne comprends pas bien tes u(x)-v(x) ;est ce ta façon de faire en cours?

as-tu étudié les changements de variables en cours?

Posté par
matheux14
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 06-03-21 à 22:10

Bien sûr (voir mon dernier poste sur les limites)

Seulement que je me sens à l'aise avec cette manière de faire..

Posté par
Pirho
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 06-03-21 à 22:28

je ne comprends pas ce que tu fais!

Citation :


Posons u(x)=x\, et\, v(x)=\left(x²+1\right)^{\sqrt{2}
 \\
Les primitives de u et v sont :

U(x)=1 et ben non une primitive de u(x)=\dfrac{x^2}{2}

V(x)=\dfrac{(x²+1)^{\sqrt{2}}}{2+2\sqrt{2}} car (x²+1)'=2x , fallait donc multiplier par 2 au dénominateur.

Désolé mais ton V(x), je ne le comprends pas non plus

Du coup F(x)=\dfrac{(x²+1)^{\sqrt{2}}}{2+2\sqrt{2}}
F(x) n'est pas juste

c'est vraiment votre façon de procéder en cours?

Posté par
matheux14
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 06-03-21 à 22:42

Ben , une erreur de frappe..
F(x)=\dfrac{(x²+1)^{\sqrt{2}+1}}{2+2\sqrt{2}}=

Posté par
Pirho
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 06-03-21 à 22:44

tu n'as pas répondu à

Citation :
c'est vraiment votre façon de procéder en cours?

Posté par
matheux14
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 06-03-21 à 22:44

Citation :
c'est vraiment votre façon de procéder en cours?


Oui

De la méli mélo ?

Posté par
Pirho
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 06-03-21 à 22:49

ce qui me dérange, c'est que je ne comprends pas ce que tu fais; c'est peu rigoureux mais tu arrives pratiquement (ou à peu près) à la bonne réponse

Posté par
matheux14
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 06-03-21 à 22:56

matheux14 @ 06-03-2021 à 21:10

Bonsoir ,

Je parle de l'analogie ..

b) f(x)=x\left(x²+1\right)^{\sqrt{2}} , \forall x\in \R

f(x)=x×\left(x²+1\right)^{\sqrt{2}

Posons u(x)=x et v(x)=\left(x²+1\right)^{\sqrt{2}

Les primitives de u et v sont :

U(x)=\dfrac{x²}{2} et

V(x)=\dfrac{(x²+1)^{\sqrt{2}+1}}{1+\sqrt{2}}

Du coup F(x)=\dfrac{x²(x²+1)^{\sqrt{2}+1}}{2(1+\sqrt{2})}


Donc F(x)=\dfrac{x²(x²+1)^{\sqrt{2}+1}}{2+2\sqrt{2}}

Posté par
Pirho
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 06-03-21 à 23:02

c'était juste ici

matheux14 @ 06-03-2021 à 22:42

Ben , une erreur de frappe..
F(x)=\dfrac{(x²+1)^{\sqrt{2}+1}}{2+2\sqrt{2}}=

Posté par
matheux14
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 06-03-21 à 23:23

Oui au temps pour moi ..

Posté par
matheux14
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 07-03-21 à 08:06

Pirho @ 06-03-2021 à 22:49

ce qui me dérange, c'est que je ne comprends pas ce que tu fais; c'est peu rigoureux mais tu arrives pratiquement (ou à peu près) à la bonne réponse


Comment est-ce que je devrais rédiger ?

Posté par
matheux14
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 07-03-21 à 08:15

f(x)=x(x²+1)^{\sqrt{2}}

posons u(x)=(x²+1)

u'(x)=2x

Donc f(x)=\dfrac{1}{2}u'(x)×u(x)^{\sqrt{2}}

Donc F(x)=\dfrac{1}{2}×\dfrac{(x²+1)^{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2}+1}

F(x)=\dfrac{(x²+1)^{\sqrt{2}+1}}{2+2\sqrt{2}}

Posté par
Pirho
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 07-03-21 à 08:20

ça me paraît OK

Posté par
matheux14
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 07-03-21 à 08:25

Ok

Comment est-ce qu'on dérive f: x\mapsto a^{x}  a\in \R et x\in\R ?

Posté par
Pirho
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 07-03-21 à 08:37

rationnalise quand même

\dfrac{1}{2(1+\sqrt{2})}

Posté par
Pirho
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 07-03-21 à 08:41

vois un peu ici

Posté par
matheux14
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 07-03-21 à 08:48

\dfrac{1}{2(1+\sqrt{2})}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}

F(x)=\dfrac{(x²+1)^{\sqrt{2}+1}}{2+2\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{2}-1)(x²+1)^{\sqrt{2}+1}}{2}

Posté par
Pirho
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 07-03-21 à 09:32

nickel!

Posté par
matheux14
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 07-03-21 à 09:58

Merci

Posté par
Pirho
re : Primitives de fonctions exponentielles et puissances. 07-03-21 à 10:44

de rien



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