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proba

Posté par illetbasketclub (invité) 23-01-07 à 13:35

Bonjour,
j'ai un exercice de probabilité à résoudre,et dont je n'ai aucune idée, qui est le suivant :

Une boite contient n boules noires et n boules blanches où n est un entier naturel non nul.

1)On extrait simultanément n boules de cette boite. Combien y a-t-il de tirages possibles? Je pencherai pour n parmi 2n mais sans grande conviction.

2)Montre que le nombre de tirages contenant exactement p boules noires (p compris entre 0 inclu et n inclu ) est (n parmi p)².

3)Déduire des questions 1 et 2 une relation entre coefficien binomiaux ; vérifier cette relation pour n=4.  

Merci de m'aider

Posté par
Youpire : proba 23-01-07 à 13:43

Bonjour

pour le 1) c'est ok

pour le 2) le calcul est \(n \\ p\) \times \(n \\ n-p\)

où \(n \\ p\) est le nombre de possibilités de tirer p boules noires parmi n

et \(n \\ n-p\) est le nombre de possibilités de tirer n-p boules blanches parmi n

or \(n \\ n-p\)=\(n \\ p\)

d'où le résultat

Posté par
lafol Moderateurre : proba 23-01-07 à 13:55

Bonjour,
pour la troisième question, les tirages de la question 1 se décomposent en tirages avec 0 boule noire, avec 1 boule noire, avec 2 boules noires, ... avec n boules noires, d'où
\Bigsum_{p=0}^{p=n}{\(C_n^p\)^2}=C_{2n}^n.
Avec n=4 : 3$C_{2\time 4}^4=\frac{8.7.6.5}{4.3.2.1}=70 et \Bigsum_{p=0}^{p=4}{\(C_4^p\)^2}= \(C_4^0\)^2+\(C_4^1\)^2+\(C_4^2\)^2+\(C_4^3\)^2+\(C_4^4\)^2= 1^2+4^2+6^2+4^2+1^2=1+16+36+16+1=70

Posté par
Youpire : proba 23-01-07 à 13:56

pour le 3)

on est d'accord que le nombre de tirages possibles total est égal au nombre de tirages possibles avec 0 boule noire + le nombre de tirages possibles avec 1 boule noire + nombre de tirage possibles avec 2 boules noires etc ... jusqu'à n boules noires

donc \(2n \\ n\)=\(n \\ 0\)^2+\(n \\ 1\)^2+\(n \\ 2\)^2+.....+\(n \\ n\)^2

soit 3$ \fbox{\(2n \\ n\)=\bigsum_{p=0}^n\(n \\ p\)^2}

exemple avec n=4

\(8\\ 4\)=70

3$ \bigsum_{p=0}^4\(4 \\ p\)^2}=\(4 \\ 0\)^2+\(4\\ 1\)^2+\(4\\ 2\)^2+\(4\\ 3\)^2+\(4\\ 4\)^2=1+16+36+16+1=70

Posté par
Youpire : proba 23-01-07 à 13:56

y a comme une redondance dans mes propos!!

Posté par
lafol Moderateurre : proba 23-01-07 à 13:57

C'est rien, ça permet de faire le parallèle entre les deux notations des nombres binômiaux....


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