Bonjour.
Tu connais la loi binômiale B(n,p) : elle peut prendre pour valeurs uniquement les entiers 0, 1, 2, ... ,n. (valeurs discrètes). Sur chacune de ces valeurs est posé un petit grain de probabilité, mais rien entre deux valeurs consécutives. La somme de tous ces grains "pèse" 1.
Imagine que tu puisse "étaler" cette quantité 1 de probabilité sur tout un intervalle des réels, un peu comme si tu disposais d'un gramme de beurre à étaler sur une tartine : c'est ce que l'on nomme une loi continue. Mais comme sur une tartine, l'étalement n'est pas forcment régulier. Ici, l'étalement a pour "densité", c'est-à-dire pour épaisseur f(t) = exp(-t), et la tartine est tout l'intervalle [0 ; [. Les seuls conraintes sont : f(t) 0 et surtout : la somme de toues les probabilités vaut 1. Ici, cette somme est l'intégrale :
. Ce que tu peux vérifier.
Chaque point de [0 ; [ a une probabilité nulle, seuls les intervalles ont une probabilité non nulle : si I = [a ; b], P(I) = .
1° Par définition :
=
= . On calcule ces deux intégrales :
et . On trouve finalement : 1 - exp(-2).
2° On fait de même et je trouve aussi 1 - exp(-2) : indépendant de k.
Bon week end, Cordialement RR.