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Probabilité

Posté par Sandra1002 (invité) 28-09-04 à 18:07

Salut
Voici l'énoncé :
Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d'une fléchette.
Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteingne la cible au lancer suivant est égale à un tiers.
Lorsqu'elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu'elle manque la cible au lancer suivant est égale à 4/5.
On suppose qu'au premier lancer elle a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer.

Pour tout entier naturel n strictement positif, on considère les évènements suivants:
An : "Alice atteint la cible au nième coup"
Bn : "Alice rate la cible au nième coup"
On pose pn= p(An)

1. Déterminer p1, et montrer que p2 = 4/15

2 Montrer que, pour tout entier naturel 2n, pn= 2/15 * p(n-1)+ 4/15.

3.Pour tout 1n, on pose un= pn-3/13. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme u1 et la raison q.

4. Ecrire un puis pn en fonction de n.

5 Déterminer lim (quand n tend vers +) pn.

Sandra

Posté par Sandra1002 (invité)Au secours probabilité ! 28-09-04 à 18:31

Salut
Voici l'énoncé :
Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d'une fléchette.
Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteingne la cible au lancer suivant est égale à un tiers.
Lorsqu'elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu'elle manque la cible au lancer suivant est égale à 4/5.
On suppose qu'au premier lancer elle a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer.

Pour tout entier naturel n strictement positif, on considère les évènements suivants:
An : "Alice atteint la cible au nième coup"
Bn : "Alice rate la cible au nième coup"
On pose pn= p(An)

1. Déterminer p1, et montrer que p2 = 4/15

2 Montrer que, pour tout entier naturel 2n, pn= 2/15 * p(n-1)+ 4/15.

3.Pour tout 1n, on pose un= pn-3/13. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme u1 et la raison q.

4. Ecrire un puis pn en fonction de n.

5 Déterminer lim (quand n tend vers +) pn.

Sandra

*** message déplacé ***

Posté par Graubill (invité)re : Au secours probabilité ! 28-09-04 à 19:04

Dans ton énoncé, t'es sure que ce n'est pas:
pn = 2/15 * p(n-1) + 1/5

Sinon p2 ne marche pas...

P1 c'est 1/2 cf ennoncé.
P2 c'est 1/3 * 1/2 (elle a reussi le jet precedent et reussi le suivant) + 1/5 * 1/2 ( Elle a raté le premier lancé mais reussi le second)

P2 = 4/15

Ensuite j'aurrais dit que Pn = /P(n-1)*1/5 + P(n-1)*1/3
Pn=(1-P(n-1))*1/5 + P(n-1)*1/3
Pn=1/5 + 2/15* P(n-1) ...

*** message déplacé ***

Posté par
Belge-FDLELong, mais normallement juste 28-09-04 à 21:28

Salut Sandra ,

Alors, c'est parti . Tout d'abord récapitulons les hypothèses.
Tout d'abord, il faut remarquer que les évènement A_n et B_n sont complémentaires, c'est-à-dire que si A_n n'est pas réalisé, alors B_n l'est et on a pour tout n fixé :

\rm~A_n~=~1-B_n et de même \rm~B_n~=~1-A_n

Ensuite, on a :

\rm~p(A_{n+1}|A_n)~=~\frac{1}{3} (proba de réussir le lancer suivant (n+1), sachant qu'elle vient de réussir la cible au lancer (n))
De cela, on en déduit :
\rm~p(B_{n+1}|A_n)~=~1-p(A_{n+1} | A_n)=~\frac{2}{3} (proba de manquer le lancer suivant (n+1), sachant qu'elle vient de réussir la cible au lancer (n))

On a également :

\rm~p(B_{n+1}|B_n)~=~\frac{4}{5} (proba de manquer le lancer suivant (n+1), sachant qu'elle vient de réussir la cible au lancer (n))
De cela, on en déduit :
\rm~p(A_{n+1}|B_n)~=~1-p(B_{n+1} | B_n)=~\frac{1}{5} (proba de réussir le lancer suivant (n+1), sachant qu'elle vient de manquer la cible au lancer (n)).

On peut à présent se lancer dans les questions :

1 - Déterminer p_1 et montrer que p_2~=~\frac{4}{15}
On nous dit que l'on suppose qu'au premier lancer, elle a autant de chance d'atteinde la cible, que de la manquer, donc :
\rm~p_1~=~p(A_1)~=~\frac{1}{2}.

Remarque : On a donc également \rm~p(B_1)~=~\frac{1}{2}

Pour qu'elle réussisse au second lancer, elle peut louper le premier et réussir le second, ou alors réussir les deux. On a donc :
\rm~p_2~=~p(A_1)\times~p(A_2|A_1)~+~p(B_1)\times~p(A_2|B_1)
\rm~p_2~=~\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}~+~\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}
\rm~p_2~=~\frac{1}{6}~+~\frac{1}{10}
\rm~p_2~=~\frac{10}{60}~+~\frac{6}{60}
\rm~p_2~=~\frac{16}{60}
\rm~p_2~=~\frac{4}{15}


2 - Montrer que pour tout n entier naturel tel que \rm~n~\geq~2, on a \rm~p_n~=~\frac{2}{15}p_{n-1}+\frac{4}{15}
On va ici adopter un raisonnement par récurrence, et on appelera Q_n, la propriété :

\rm~p_n~=~\frac{2}{15}p_{n-1}+\frac{4}{15}

*INITIALLISATION : Pour n=2, on a vu que l'on avait :
\rm~p_2~=~\frac{4}{15}
Or \rm~p_1~=~\frac{1}{2} et \rm~\frac{1}{2}\times\frac{2}{15}+\frac{4}{15}~=~\frac{1}{15}+\frac{4}{15}~=~\frac{5}{15}
Donc Q_0 n'est pas vérifiée et ce que l'on te demande de démontrer est FAUX (peut-être que tu as mal recopié, ou erreur d'énoncé, je sais pas ).

Selon moi, il aurait plutôt fallu trouver :

\rm~p_n~=~p(A_{n-1})\times~p(A_n|A_{n-1})~+~p(B_{n-1})\times~p(A_n|B_{n-1})[/b]
\rm~p_n~=~p_{n-1}\times~\frac{1}{3}~+~(1-p_{n-1})\times~\frac{1}{5}[/b]
\rm~p_n~=~\frac{1}{3}p_{n-1}~-~\frac{1}{5}~-\frac{1}{5}p_{n-1}[/b]
\rm~p_n~=~(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})p_{n-1}~+~\frac{1}{5}~[/b]
\rm~p_n~=~(\frac{5}{15}-\frac{3}{15})p_{n-1}~+~\frac{1}{5}~[/b]
\rm~p_n~=~\frac{2}{15}p_{n-1}~+~\frac{1}{5}~[/b]

Voilà ce qu'il et comment il fallait le démontrer selon moi .


3 - Pour tout \rm~n~\geq~~1, on pose \rm~u_n~=~p_n-\frac{3}{13}. Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme u_1 et la raison q.
On a montrer précédemment que :

\rm~p_n~=~\frac{2}{15}p_{n-1}+~\frac{1}{5}~[/b]

Donc, on a :
\rm~u_n~=~p_n-\frac{3}{13}
\rm~u_n~=~\frac{2}{15}p_{n-1}~+~\frac{1}{5}-\frac{3}{13}
\rm~u_n~=~\frac{2}{15}p_{n-1}~-~\frac{2}{65}
\rm~u_n~=~\frac{2}{15}(p_{n-1}-\frac{3}{13})

Remarque : On pouvait trouver la raison de la suite, en regardant les premiers termes de la suite et en divisant u2 par u1 et u3 par u2. On trouvait bien \frac{2}{15} et comme celà, on savait que l'on devait factoriser par ce nombre.

On a donc :
\rm~u_n~=~\frac{2}{15}(p_{n-1}+\frac{3}{13})
On se retrouve avec la définition par récurrence d'une suite géométrique.

Le premier terme de la suite (Un) est égal à :

\rm~u_1~=~p_1~+~\frac{3}{13}
\rm~u_1~=~\frac{1}{2}~+~\frac{3}{13}
\rm~u_1~=~\frac{1}{26}~+~\frac{6}{26}
\rm~u_1~=~{7}{26}

Quant à la raison, il s'agit bien évidemment de :
\rm~q~=~\frac{2}{15}


4 - Écrire un, puis pn en fonction de n.
(Un) est une suite géométrique de premier terme \frac{7}{26}, et de premier terme \rm~u_1~=~\frac{7}{26} (faire attention au 1 de u1). On a donc :

\rm~u_n~=~\frac{7}{26}\times~(\frac{2}{15})^{n-1}

Pour ce qui est de p_n, on a :

\rm~u_n~=~p_n-\frac{3}{13}

donc :

\rm~\frac{7}{26}\times~(\frac{2}{15})^{n-1}~=~p_n-\frac{3}{13}
\rm~p_n~=~\frac{7}{26}\times~(\frac{2}{15})^{n-1}~+~\frac{3}{13}


5 - Déterminer \rm~\displaystyle\lim_{n\to+\infty}~p_n
On a :

\rm~p_n~=~u_n~+~\frac{3}{13}

Or, (Un) est une suite géométrique de raison \frac{2}{15} xomprise entre -1 et 1 exclus, donc :

\rm~\displaystyle\lim_{n\to+\infty}~u_n~=~0

Donc, on a :

\rm~\displaystyle\lim_{n\to+\infty}~p_n~=~\frac{3}{13}


Voili, voilou, j'espère que cela pourra t'aider . Si tu as encore des questions, ou que tu ne comprend pas très bien un de mes raisonnements, surtout n'hésite pas .

À +

Posté par Sandra0210 (invité)merci mais... 29-09-04 à 19:04

Salut
en fait, je n'ai pas compris le raisonnement du 2) :
quand vous mettez p1= 1/2 et 1/2 * 2/15 + 4/15= 5/15, je comprend pas comment vous avez calculer p0 (parce qu'on en a besoin pour calculer p1)
merci
Sandra

Posté par
Belge-FDLEre : Probabilité 29-09-04 à 19:35

Salut Sandra ,

En fait, on a calculé p_1 dès la 1ère question. On a vu qu'il était égal à p_1=\frac{1}{2} puisqu'on nous dit qu'au premier lancer, Alice a autant de chance d'atteindre que de manquer la cible.
Quant à p_0, cette probabilité n'est pas définie puisque l'on commence au premier lancer et non au "zerotieme"lancer .


La propriété que l'on nous demandait de démontrer (du moins dans ton énoncé ), c'est que, pour tout n :

\rm~p_n~=~\frac{2}{15}p_{n-1}+\frac{4}{15}

Donc, j'ai voulu vérifier que cette propriété était vraie au rang n=2, càd que l'on aurait :

\rm~p_2~=~\frac{2}{15}p_{2-1}+\frac{4}{15}~=~\frac{2}{15}p_{1}+\frac{4}{15}~=~\frac{2}{15}\times\frac{1}{2}+\frac{4}{15}~=~\frac{2}{30}+\frac{4}{15}~=~\frac{1}{15}+\frac{4}{15}~=~\frac{5}{15}~=~\frac{1}{3}

Mais on a vu à la question 1 que \rm~p_2=\frac{4}{15}~et~pas~\frac{1}{3}, donc la propriété selon laquelle \rm~p_n~=~\frac{2}{15}p_{n-1}+\frac{4}{15}
est FAUSSE.

Comme je le démontre juste après, on a en fait :
\rm~p_n~=~\frac{2}{15}p_{n-1}+\frac{1}{5}


Voilà .
Si tu as toujours des questions, pas de problèmes
Et une dernière chose, je te donne mon aval, mon accord total pour que tu me tutoies si tu le souhaites .

À +

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Probabilité 29-09-04 à 19:51

et bien dis donc désolé le post inutile mais kan tu y vas, tu y vas Belge-FDLE je croyais que ta réponse, n'en finirait jamais !!! ++

Posté par
Belge-FDLE 29-09-04 à 20:23

Lol Puisea ,
oui j'adoOOOOore les probabilités , et comme on ne les attaquera que dans deux mois ou plus dans ma classe de terminale, je suis très content quand il y en a un (ou une) qui propose des exos de proba sur l'Ile des Maths, pour que je puisse le résoudre .

En plus, si ça peut aider... y a que des avantages

À +

Posté par
Cam1erSre : Probabilité 22-10-14 à 20:32

Excusez moi, je n'ai pas compris comment, dans le raisonnement par récurrence, on passait de :
p_n=p(A_{n-1})*p(A_n|A_{n-1}) + p(B_{n-1})*p(A_n|B_{n-1})
à
p_n=p_{n-1}*1/3 +(1-p_{n-1})*1/5

Serait-il possible comme explique ? Merci d'avance


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