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Niveau terminale
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:::: Probabilité ::::

Posté par
H_aldnoer 13-05-05 à 12:10

slt a tous,

j'ai un petit probleme de comprehension avec cette exercices de probabilités tiré du BAC 2005 Nouvelle calédonie :

3$\line(500)

3$\rm \underline{sujet :}
Une compagnie de Transport desire optimiser les controles afin de limiter l'impact des fraudes et les pertes occasionés par cette pratique.

Cette compagnie effectue une etude basé sur deux trajets par jour pendant les vingt jours ouvrables d'un mois soit au total 40 jours.
On admet que les controles sont independants les uns des autres et que la probabilité pout tout voyageur d'etre controlé est egale a 3$\rm p.

Le prix de chaque trajets est de 3$\rm 10[b]€, en cas de fraude, l'amende est de 3$\rm 100€.
Claude fraude systématiquement lors des quarantes trajets soumis a cette etude.

Soit 3$\rm X_i la variable aleatoire qui prend la valeur 3$\rm 1 si Claude est controle au 3$\rm i-eme trajet et la valeur 3$\rm 0 sinon.

Soit 3$\rm X la variable aleatoire definie par 3$\rm X=X_1+X_2+X_3+...+X_{40}
[/b]

3$\line(500)

3$\rm \underline{question :}

Determiner la loi de probabilité de 3$\rm X.


le je suis totalement bloqué ...

merci pour l'aide.

Posté par
isisstruissre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 12:16

Bonjour H_aldnoer!

X est le nombre de jours (sur les 40) que Claude a été contrôlé.

On a P(X_i=1)=p pour tous les i.

Voilà, j'espère que c'est assez pour te débloquer.

Isis

Posté par dolphie (invité)re : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 12:17

salut,

X peut prendre les valeurs 0,1,2,....,40
X=0 signifie que sur les 40 trajets il ne s'est jamais fait contrôler; X=40 qu'il s'est tjs fait contrôler.

Il faut donc que tu calcules p(X=0); p(X=1),...,p(X=k),...p(X=40).
pour un trajet la proba qu'il se fasse contrôlée est P.

Qu'elle est donc la probabilité qu'il se fasse contrôler k fois sur 40 trajets? (pense au schéma de Bernouili...)

Posté par dolphie (invité)re : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 12:18

salut Isis,

toujours là en même tps!

Posté par
isisstruissre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 12:21

Coucou dolphie!



On a toujours les mêmes idées en même temps!

Isis

Posté par
H_aldnoerre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 12:22

slt Isis,

merci pour cette rapidé

avons nous alors :

4$\rm \begin{tabular}{|c|cccc|}X_i&1&2&...&40\\\hline{p_i}&p&p&...&p\end{tabular}

et

3$\rm X=X_1+X_2+...+X_{40}=p+p+...+p=40p



:smiely:

Posté par dolphie (invité)re : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 12:25

ah non!

la deuxième ligne ne convient pas.

Déjà il est possible qu'il se fasse controler 0 fois... (0 doit apparaitre dans la première ligne).

ensuite proba qu'il se fasse contrôler une seule fois:
p^1(1-p)^39 (il s'est fait contrôler une fois et les 39 autres trajets il est passé tranquille...

fais de même pour les autres....refère toi à Bernouilli!!!!!

(et oui deux issues: il passe ou non et on compte le nb de réussite "il s'est fait contrôler..." regarde ton cours!

Posté par
isisstruissre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 12:26

Ah non!

On cherche P(X=k)=P(X_1+X_2+\cdots+X_{40}=k) et tu ne peux pas sommer des probabilités comme tu sommes des variables!

X est une variable, ce n'est pas une probabilité. X et P(X) sont de natures différentes!

Isis

Posté par dolphie (invité)re : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 12:28

euh d'ailleurs...me suis trompée!
p(X=1)=40p^1\times (1-p)^39 (et oui la fois ou il se fait controler peut etre le premier trajet, le deuxième, le troisième.... donc 40 trajets possibles.


si tu regardes bien ton cours tu vas trouver:
p(X=k)=\sum_{k=0}^40 C_{40}^k\times p^k (1-p)^{40-k}

convaincu?

Posté par
H_aldnoerre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 12:33


- en ce qui concerne mon tableau, le texte precise Claude fraude systématiquement lors des quarantes trajets soumis a cette etude

doije mettre la valeur 0 ?

- je ne suis pas trop convaincu en faite ; pour la loi de bernouilli on a bien :

3$p(X=k)=\(n\\k)\.p(S)^k.p(\bar{S}^{n-k}

avec n et p les parametres et p(S) probabilité du succée...

et la je ne vois pas comment l'appliquer

Posté par dolphie (invité)re : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 12:36

on sait qu'il fraude certes, mais il ne se fait pas prendre à chaque fois....dès fois il ne se fait pas repérer et don cil est tranquille.

Ce qu'on calcule c'est le nb de fois ou il a été repérer par les controles comme fraudeur.

Il se peut qu'il ne ce soit jamais fait controler et ds ce cas X=0 est possible.

Ton schéma. Claude Fraude (seul lui et nous le savons).Il passe devant les controles, soit il se fait controler (reussite pour nous) soit il est tranquille (échec). On repete cette opération 40 fois (40 trajets) et on compte le nombre de réussite.
Donc n=40
p=P
q=1-p.... comprends-tu mieux?

Posté par
H_aldnoerre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 12:44

donc je reprend tout :

3$\rm X_i est la variable aleatoire qui prend la valeur 1 si Claude est controle au 3$\rm i-eme trajet et la valeur 0 sinon donc :

si 3$\rm X_0, 3$\rm p(X_i=0)=0
si 3$\rm X_1, 3$\rm p(X_i=1)=1
si 3$\rm X_2, 3$\rm p(X_i=2)=1
...
si 3$\rm X_{40}, 3$\rm p(X_i=40)=1

3$\rm X est la variable aleatoire definie par 3$\rm X=X_1+X_2+...+X_40

donc :
3$\rm p(X=k)=\(40\\k\).p^k.(1-p)^{40-k}




Posté par
isisstruissre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 12:58

Je crois que tu confonds toujours les Xi et leurs probabilités...

Xi indique si Claude a été contrôlé le jour i.
Exemple:
Le jour 1 Claude se fait contrôler. X1=1
Le jour 2 Claude ne se fait pas contrôler. X2=0
Le jour 3 Claude se fait contrôler. X3=1

Comme la probabilité de se faire contrôler n'importe quel jour est p, on a
P(X1=1)=p et P(X1=0)=1-p
P(X2=1)=p et P(X2=0)=1-p
P(X3=1)=p et P(X3=0)=1-p

Posté par
isisstruissre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 13:01

Tu peux voir ça comme une pièce de monnaie (déséquilibrée) qui est jetée 40 fois de suite. Xi=1 si on a pile au ième jet. X est le nombre de piles obtenus.

Isis

Posté par
H_aldnoerre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 13:06

je suis dsl c parce que je ne maitrise pas encore bien les probas

donc on ne sait pas si le jour 1 il se fait controler, le jour 2 aussi etc

par contre au sait que la probabilité qu'il se fasse controler ce jour est p

est-ce ceci ?

dans ce cas le tableau serait-il ceci :
5$\rm \begin{tabular}{|c|ccccccc|}X_i&1&&2&&...&&40\\\hline{p_i}&p&&p&&...&&p\end{tabular}

encore merci.


Posté par
isisstruissre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 13:09

OUI!!! OUI!!! OUI!!!

Tu sembles avoir compris. Reste à regarder la loi de X, mais tu as déjà la réponse sur message de 12:28 de Dolphie.

Isis

Posté par
H_aldnoerre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 13:14

enfin je ne c'est pas si l'on peu m'applaudir avec le temps qu'il me faut pour comprendre ...

donc :

3$\rm X=X_1+X_2+...+X_{40}=\sum_{k=1}^{40}X_i

ce que je ne comprend pas c comment faire un tableau ...

peut etre que l'on doit pas en faire

Posté par
isisstruissre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 13:15

En fait que rajoute encore une chose... Ton tableau serait plus exact comme ça:

\begin{tabular}{|c|ccccccc|}i&1&&2&&...&&40\\\hline{P(X_i=1)}&p&&p&&...&&p\end{tabular}

Parce que juste Xi n'est pas grand'chose, c'est une variable qui peut prendre la valeur 1 ou la valeur 0 (c'est comme une pièce avant qu'on la jette). Dire P(Xi) est comme dire la probabililité de la pièce i. P(Xi) ne veut rien dire.

Parcontre comme 1 est une réalisation possible de Xi, P(Xi=1) a un sens. Ceci veut dire (dans mon exemple parallèle) la probabilité que la ième pièce a donné pile.

Isis

Posté par
isisstruissre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 13:20

Hum, j'éviterais le tableau... On prend un exemple. P(X=3). Déjà il s'est fait contrôler 3 fois et 40-3 fois il ne s'est pas fait contrôler. Donc on commence à écrire P(X=3)=p^3\cdot(1-p)^{37}\cdot\cdots

Maintenant on regarde de combien de façons il est possible qu'il se soit fait contrôler. Il se pourrait que ce soit les jours 1,2,3 ou encore les jours 3,6,10, ou encore 1,30,40... Combien de façons on a de choisir les 3 jours qu'il s'est fait contrôler parmi les 40?

Isis

Posté par
H_aldnoerre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 13:22

oui mais :

pourquoi 3$p(X_i=1) et non pas 3$p(X_i=0) dans ton tableau ?


Posté par
isisstruissre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 13:24

On peut aussi

\begin{tabular}{|c|ccccccc|}i&1&&2&&...&&40\\\hline{P(X_i=1)}&p&&p&&...&&p\\{P(X_i=0)}&1-p&&1-p&&...&&1-p\end{tabular}

Isis

Posté par
H_aldnoerre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 13:27

en faite je ne saisit pas comment on passe de

3$\rm X=\sum_{i=1}^{40}X_i

a

3$\rm p(X=k)=\sum_{i=1}^{40}\(40\\k\).p^k.(1-p)^{40-k}

cela voudrait-il dire que :
3$\rm X_i=\(40\\k\).p^k.(1-p)^{40-k}


Posté par
isisstruissre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 13:35

Rappelle-toi que Xi=0 ou Xi=1, on n'aura jamais

X_i=\(40\\k\).p^k.(1-p)^{40-k}

À gauche on a une variable indicatrice (c'est comme ça qu'on les appelle) et à gauche tu as une probabilité. Ce n'est pas de la même nature. C'est comme melanger des fruits et des voitures.

Et je vois aussi qu'il y a une erreur dans la formule de 12:28 de Dolphie que j'ai cité juste avant. On a (après 3 vérifications)

P(X=k)=\underb{\(40\\k\)}_A.\underb{p^k}_B.\underb{(1-p)^{40-k}}_C

avec
A: nombre de façons de choisir les k jours qu'il se fait contrôler
B: probabilité que les k jours choisis il se fasse vraiment contrôler
C: probabilité que les 40-k jours restants il ne se fasse vraiment pas contrôler

Isis

Posté par
isisstruissre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 13:37

à gauche et encore à gauche, c'est bien sûr à gauche et à droite, ça je n'ai pas vérifié 3 fois...

Isis

Posté par
H_aldnoerre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 13:50

je c pas si j'ai vraiment compris :

3$\rm p(X_i=1)=p
3$\rm p(X_i=2)=p
...
3$\rm p(X_i=40)=p

maintenant on sait que 3$X=X_1+X_2+...+X_{40}

tu me dit alors que 3$\rm p(X=k)=\(40\\k\).p^k.(1-p)^{40-k}

cela voudrait dire que :
3$\rm p(X=1)=\(40\\1\).p^1.(1-p)^{40-1}
3$\rm p(X=2)=\(40\\2\).p^2.(1-p)^{40-2}
...

mais que signifie 3$\rm X=1 sachant que 3$X=X_1+X_2+...+X_{40}

Posté par
isisstruissre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 14:09

Tout est juste sauf le début. Xi a des valeurs dans {0,1} et rien d'autre. Voici ma correction
\array{P(X_i=1)=p\\P(X_i=2)=p\\\cdots\\P(X_i=40)=p\\}\qquad\rightarrow\qquad\textrm{corriger par}\qquad\rightarrow\qquad\array{P(X_1=1)=p\\P(X_2=1)=p\\\cdots\\P(X_{40}=1)=p}

Isis

Posté par
isisstruissre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 14:14

Quant à ta question à la fin de ton message la réponse est la suivante:

Si X=1 c'est que Claude a été contrôlé une fois sur les 40 jours. On a que X1, X2, X3,...X40 valent (dans l'ordre)

1, 0, 0, 0..., 0 ou
0 ,1, 0, 0,...,0 ou
0, 0, 1, 0,...,0 ou
...
0, 0,...,0, 0, 1

Bref, tous les Xi sont nuls sauf pour un seul i on aura Xi=1. Ce i là avec Xi=1 sera le numéro du seul jour où Claude a été contrôlé.

Isis

Posté par
H_aldnoerre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 14:25

merci pour tes reponses Isis je vais essayer de faire la suite

pourra tu me corriger ?

Posté par
isisstruissre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 14:28

Je te corrige volontiers, mais pas avant ce soir. D'ici là je dois encore travailler!

Isis

Posté par
H_aldnoerre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 14:31

ok

c gentil de ta part ... sur ceux bon boulot

Posté par dolphie (invité)re : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 19:06

dolphie est de retour....

ca y est tu as compris et réussi à faire la suite?

Posté par
H_aldnoerre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 19:31

rebonjour a tous,

alors voila la suite :

3$\rm X_i est la variable aleatoire qui prend la valeur 1 si Claude est controle et la valeur 0 sinon

3$\rm c a d que si Claude est controle le jour 1, X_i=X_1 et la probabile est p(X_1)=p
3$\rm si Claude est controle le jour 2, X_i=X_2 et la probabile est p(X_2)=p
3$\rm etc

3$\rm soit :
4$\rm\begin{tabular}{|c|cccc|}X_i&1&2&...&40&\\{p(X_i=i)}&p&p&...&p&\end{tabular}

3$\rm X est la variable aleatoire definie par X=X_1+X_2+...+X_{40}

3$\rm c a d que si Claude s'est fait controle 1 fois, X=1 et la probabilite est p(X=1)=\(40\\1\).p^1.(1-p)^{40-1}
3$\rm si Claude s'est fait controle 2 fois, X=2 et la probabilite est p(X=1)=\(40\\2\).p^2.(1-p)^{40-2}
3$\rm etc

3$\rm la repetition de 40 epreuves dans ces conditions definissent en effet une loi de bernouilli B_{(40;p)}

3$\rm sois p(X=k)=\(n\\k\).p^k.(1-p)^{n-k}

est suffisant pr repondre a la question determiner la loi de probabilité de 3$\rm X ?

Posté par dolphie (invité)re : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 19:33

Tout a fait!!!!


tu as tout compris.

Posté par
cqfd67re : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 19:34

oui cela suffit, ou bien tu peux donner la fonction de repartition
F(k)= P(X<=k)

Posté par dolphie (invité)re : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 19:36

oui mais on lui demande la loi de proba de X et c'est bienn ce qu'il a écrit!

Posté par
cqfd67re : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 19:37

alors autant pour moi!
dsl j aurais mieux faire le lire attentivement

ben voila, faut pas que j essaie de faire mon malin

Posté par
H_aldnoerre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 20:00



alors voila la suite :

3$\rm Dans cette partie on suppose que p=\frac{1}{20}

3$\rm \blue 1)
3$\rm \magenta Calculer l'esperance mathematique de X

3$\rm \blue 2)
3$\rm \magenta Calculer P(X=0), P(X=1) et P(X=2)

3$\rm \blue 3)
3$\rm \magenta Calculer a 10^{-4} pres la probabilite pour que Claude soit controle au plus deux fois

3$\line(500)

3$\rm \blue 1)
3$\rm E(x)=n\times p=40\times\frac{1}{20}=2

3$\rm \blue 2)
3$\rm P(X=0)=\(40\\0\).\frac{1}{20}^0.(1-\frac{1}{20})^{40-0}=1.1.0.95^{40}=0,95^{40}
3$\rm P(X=1)=\(40\\1\).\frac{1}{20}^1.(1-\frac{1}{20})^{40-1}=40.\frac{1}{20}.0.95^{39}=2.0,95^{39}
3$\rm P(X=2)=\(40\\2\).\frac{1}{20}^2.(1-\frac{1}{20})^{40-2}=780.\frac{1}{400}.0.95^{38}=\frac{38}{20}.0,95^{39}

3$\rm \blue 3)
3$\rm P(X\ge2)=1-(P(X=0)+P(X=1))=1-(0,95^{40}+2.0,95^{39})\approx3439.10^{-4}

... pas trop d'erreur ?

merci pour l'aide.

Posté par
H_aldnoerre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 21:55

la ()

Posté par
isisstruissre : :::: Probabilité :::: 13-05-05 à 23:26

Je n'ai pas fait les calculs au (2) mais tu sembles faire les bons calculs en tout cas.

Au (3) ça aurait été juste si la question était "Quelle est la probabilité que Claude soit contrôlé au moins 2 fois?" Comme la question semble être "Quelle est la probabilité que Claude soit contrôlé au plus 2 fois?" Il faudrait plutôt faire P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) ce qui va être assez simple vu ce que tu viens de calculer au (2).

Au (1) parcontre je ne suis pas du tout d'accord. Il faut faire plutôt
E(X)=\bigsum_{k=0}^{40}kP(X=k)

Mais comme il est fort tard et que je n'aime pas ces sommes, je laisse ceci pour une autre fois.

Isis

Posté par dolphie (invité)re : :::: Probabilité :::: 14-05-05 à 12:01

salut,

1. OK (espérance de la loi binômiale)

2. OK mais tu peux peut-etre exprimé les résultats avec des fractions...
p(X=0)=1 \times 1 \times (\frac{80}{100})^{40}
p(X=0)=(\frac{4}{5})^{40}
mais bon c juste une remarque...

3. Isis a raison, tu as calculé l'évènement qu'il soit controlé plus de deux fois.
Or on te demande la proba qu'il soit contrôle au plus deux fois, cad 0 fois, 1 fois ou 2 fois.
Donc P = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \approx 9.10^{-4}

Posté par dolphie (invité)re : :::: Probabilité :::: 14-05-05 à 12:02

PS: ca parait logique.... sur les 40 trajets effectués il y a peu de chance qu'il se fasse controler seulement 2 fois au max.

Posté par
H_aldnoerre : :::: Probabilité :::: 14-05-05 à 13:15

oups

j'avais mal lu question a la 3)

en tout cas merci

il reste une derniere partie mais je verrais plus tard

Posté par
H_aldnoerre : :::: Probabilité :::: 14-05-05 à 13:54

rebonjour

et voila la suite du pb :

3$\rm Soit Z_i la variable aleatoire qui prend pour valeur le gain algebrique realise par le fraudeur.

3$\rm \magenta justifier l'egalite Z=400-100X puis calculer l'esperance mathematique de Z pour p=\frac{1}{5}

3$\blue\line(500)

Le prix de chaque trajets est de 10 €, en cas de fraude, l'amende est de 100 €.
Claude fraude systématiquement lors des 40 quarantes trajets soumis a cette etude.

>>donc, qu'il se fasse controlé ou non, il paye 3$\rm\red 40\times10=\underline{400 euros

>> ensuite je ne sais pas trop je sais que l'amende est de 100 euros pour chaque fraude mais je ne comprend pas pourquoi on multiplie celle ci par la variable aleatoire X








Posté par dolphie (invité)re : :::: Probabilité :::: 14-05-05 à 14:04

le gain qu'il réalise....

lui ne paye pas les 400 euros!

en effet, jamais il ne paye son trajet, donc "en qq sorte" il économise 400 euros sur l'ensemble des 40 trajets.
Mais par contre s'il se fait controler....là ca fait mal!

s'il ne se fait jamais controler, il aura économisé 400 euros.
s'il se fait conytroler une fois, il aura payé 100 euros d'amende, en ayant économisé 400 euros. Donc Z(X=1)=400-100=300
et ainsi de suite...
s'il se fait controler 5 fois, alors là il aura perdu 100 euros!
(bonne morale: mieux vaut tjs payer son trajet!)
comprends tu mieux?

Posté par
H_aldnoerre : :::: Probabilité :::: 14-05-05 à 14:05

a ok !

mais 3$\rm X ne represent la variable aléatoire de la question precedente ?

Posté par dolphie (invité)re : :::: Probabilité :::: 14-05-05 à 15:15

si X représente la variable aléatoire des questions précédentes.
elle va indiquer le nombre de fois ou claude s'est fait controler (1 s'il s'est fait controler) et par conséquent on va retire 100 euros à chaque fois qu'il s'est fait controler

Posté par
H_aldnoerre : :::: Probabilité :::: 14-05-05 à 16:23

ok ok ...

merci.

3$\rm si Claude ne se fait pas controler X=0 et comme il ne paye pas il aura alors gagner 400 euros

3$\rm si Claude se fait controler 1 fois X=1 et comme l'amende est de 100 euros son gain algebrique sera de 400-100=300 euros

3$\rm si Claude se fait controler 2 fois X=2 et comme l'amende est de 100 euros son gain algebrique sera de 400-2\times100=200 euros

etc...

3$\rm si Claude se fait controler 40 fois X=40 et comme l'amende est de 100 euros son gain (enfin...) algebrique sera de 400-40\times100=-3600 euros



Posté par dolphie (invité)re : :::: Probabilité :::: 14-05-05 à 16:28

Et bien voilà! parfait!

Posté par
H_aldnoerre : :::: Probabilité :::: 14-05-05 à 16:32

thx

3$\rm l'esperance mathematique pour p=\frac{1}{5} est donc E(X)=40\times\frac{1}{5}=8

ca me parait un pe simple la ... non ?

Posté par
lyonnaisre : :::: Probabilité :::: 14-05-05 à 16:41

salut H_aldnoer :

j'avais le mêm à faire par mon prof de math : c'est le sujet de la nouvelle calédonie 2005 je crois non ?

si tu veux, j'ai les corrections ...

Par exemple :

en déduire l'espérance mathématique de Z pour p = 1/5 :

comme on a Z = 400-100X , alors :

E(Z)=400-100\time E(X)
<=>
E(Z)=400-100(400\time \frac{1}{5})
<=>
E(Z)=400-800
<=>
E(Z)=-400

j'ai toute la suite du corigé si ça t'intéresse ...

lyonnais


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