Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Probabilité : Conditionnement - IndépendanceTopics traitant de Probabilité : Conditionnement - Indépendance [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 +

Niveau terminale
Partager :

Probabilité

Posté par
TitanLasta 26-11-19 à 20:35

Bonjour, je bloque sur cet exercice de probabilité. Pouvez-vous m'aider à le réaliser. Merci de votre aide...

Une nouvelle application pour téléphone intelligent fait rage dans la cour du lycée: Cangou. Le but est simple: faire avancer le kangourou Cango le long d'une route parsemée d'embûches. Chaque rocher évité rapporte 1 pomme, chaque rocher heurté fait perdre une pomme: à 0 pomme, le jeu s'arrete. Cangou a 5 pommes dans sa poche au depart. Cangou avance automatiquement: le joueur ne controle que la position sur la route.
Une etude statistique revele les faits suivants:
●la proportion de joueur touchant le premier rocher est de 25%
●60% des joueurs ayant evité un rocher evite egalement le suivant
●5% des joueurs touchent les deux premiers rochers.

1. Un joueur ne touche pas le deuxieme rocher. Montrer que la probabilité qu'il n'ait pas touché le premier rocher est 9/13.
2. Soit n un entier superieur ou egal a 1.
Demontrer que la probabilité d'eviter le n^ieme rocher est \frac{2}{3}+\frac{1}{12}×(\frac{-1}{5})^{n-1}.
3.a) proposer un algorithme permettant de determiner la plus petite valeur de n telle que |\frac{1}{12}×(\frac{-1}{5}^{n-1})|<10^{-5}
b) faire tourner cet algorithme. Comment peut on interpreter le resultat dans le cadre du probleme ?
3. Question bonus: Cangou est-il blond, brun ou roux ? Justifier.

Réponse:
1. J'ai fait un arbre de probabilité, le voici:
Probabilité
Nous cherchons P_{Bbarre}(Abarre). Je trouve 3/4 mais ce ne n'est pas le résultat demandé.

Posté par
caritare : Probabilité 26-11-19 à 21:02

bonsoir

ton arbre convient.
mais les probas indiquées sur les branches issues de  \bar{A} sont fausses :
ce ne sont pas les mêmes que pour les branches issues de  A.

==> tu dois commencer par calculer pA(B) à l'aide de l'information :
"5% des joueurs touchent les deux premiers rochers"

remarque : attention à ne pas confondre les notations
A : événement
p(A) : proba de l'événement

Posté par
TitanLastare : Probabilité 26-11-19 à 21:17

Ok, je calcule P_{A}(B)=\frac{P(AnB)}{P(A)}
La probabilité de P(A), soit "le premier rocher est touché" est de 25% soit 1/4.
La probabilité de P(AnB) est P(A)×P(B), soit 1/4×2/5=1/10.
Je sais pas si c'est correct...

Pour l'arbre je n'ai pas compris où jai faux.

Posté par
caritare : Probabilité 26-11-19 à 21:33

pour l'arbre, j'ai interverti A et \bar{A} dans mon message,
car j'avais pris sur le mien une autre notation. :/

je corrige donc :
Probabilité
P_{A}(B)=\frac{P(A\bigcap{}B)}{P(A)}    oui

La probabilité de P(A), soit "le premier rocher est touché" est de 25%. oui

La probabilité de P(AnB) est  P(A)×P(B), soit 1/4×2/5=1/10.     non, c'est 0.05, donné par l'énoncé

d'où  P_{A}(B)=\frac{P(A\bigcap{}B)}{P(A)} = .....  

puis tu complètes l'arbre avec les probas.

---

tu cherches p_{\bar{B}}(\bar{A})

Posté par
TitanLastare : Probabilité 26-11-19 à 21:44

P_{A}(B)=0,2
Pour completer l'arbre:
Les evenements sont pris individuellement donc c'est les memes proba que celles de la branche du dessous
P(B)=0,4 et P(Bbarre)=0,6
P_{Bbarre}(Abarre)=\frac{0,75×0,6}{0,6}=0,75

Est-ce correct ?

Posté par
caritare : Probabilité 26-11-19 à 21:47

non, ce ne sont pas les mêmes probas !

la preuve tu trouves par calcul que P_{A}(B)=0,2

donc 0.2 et 0.8, pour l'arbre

Posté par
caritare : Probabilité 26-11-19 à 21:49

pour trouver p_{\bar{B}}(\bar{A})

tu dois commencer par calculer  p({\bar{B}})

appuie-toi sur l'arbre (lol)

Posté par
caritare : Probabilité 26-11-19 à 21:52

Probabilité

la question 2) .... est bien bien raccourcie !

il n'y a pas d'autres questions avant ?
ou alors tu as étudié des suites arithmético-géométriques en cours ?

Posté par
TitanLastare : Probabilité 26-11-19 à 21:53

Ah bon ? Pourtant ça reste les memes probas ... je savais pas que je pouvais mettre des probas conditionnelles dans un arbres pondérées .
Du coup: P_{Bbarre}(Abarre)=0,563 arrondi à 10^-4 ( comme demandé dans l'exercice)

Posté par
TitanLastare : Probabilité 26-11-19 à 21:57

Non pas de question avant et non nous n'avons pas étudié les suites arithmetico-geometriques. Nous avons revu les suites arihmetiques et geometriques en debut d'annee..

Posté par
caritare : Probabilité 26-11-19 à 21:59

oui, la valeur exacte 9/13.

TitanLasta @ 26-11-2019 à 21:53

je savais pas que je pouvais mettre des probas conditionnelles dans un arbres pondérées


ben si,  sur les branches du  "second tirage" c'est toujours des probas conditionnelles.

Probabilité

Posté par
caritare : Probabilité 26-11-19 à 22:03

TitanLasta @ 26-11-2019 à 21:57

Non pas de question avant et non nous n'avons pas étudié les suites arithmetico-geometriques. Nous avons revu les suites arihmetiques et geometriques en debut d'annee..


c'est faisable, mais sans les formules que tu ne pourras donc pas utiliser directement,
va falloir que je réfléchisse comment t'orienter...

==> en attendant, la 1ère chose à faire est d'exprimer pn+1 en fonction de pn :

où je désigne par pn la probabilité d'éviter le nième rocher
coup de pouce : p1 = 0.75

il est pour quand, ce devoir ?

Posté par
TitanLastare : Probabilité 26-11-19 à 22:08

Mais je ne trouve pas 9/13, je trouve 0,5625.

Je crois qu'il faut faire une recurrence, les autres camarades ont fait comme ça je crois...
À rendre pour jeudi.

Posté par
caritare : Probabilité 26-11-19 à 22:11

Mais je ne trouve pas 9/13, je trouve 0,5625.   --- montre ton calcul

ah oui, par récurrence, d'accord.

Posté par
TitanLastare : Probabilité 26-11-19 à 22:17

P_{Bbarre}(Abarre)=\frac{P(AbarreNBbarre)}{P(Bbarre)}=\frac{0,75×0,6}{0,8}=0,5625


Oui, je suis pas sûr mais j'ai entendu récurrence en classe

Posté par
caritare : Probabilité 26-11-19 à 22:19

ton numérateur est juste, mais pas le dénominateur.

pour calculer  p({\bar{B}}), utilise les probabilités totales.
(cf arbre)

Posté par
caritare : Probabilité 26-11-19 à 22:21

la question bonus... MDR !

Posté par
TitanLastare : Probabilité 26-11-19 à 22:26

P(Bbarre)=P(A)×P_{A}(B)+P(Abarre)×P_{Abarre}(B)
=0,25×0,2+0,75×0,6=0,5
Je trouve toujours pas 9/13 meme avec ce denominateur, je ne sais pas ou j'ai faux..

Posté par
TitanLastare : Probabilité 26-11-19 à 22:27

Ah oui la question bonus est pas mal.. j'ai trouvé kangourou roux car les deux autres n'existent pas

Posté par
caritare : Probabilité 26-11-19 à 22:29

P(Bbarre)=0,25×0.8+0,75×0,6 = ....

et là ça va marcher

Posté par
TitanLastare : Probabilité 26-11-19 à 22:31

Ah oui effectivement ça marche.. j'ai oublué les barres sur mon B donc j'ai pris les mauvaises probabilités

Posté par
caritare : Probabilité 26-11-19 à 22:33

2) la 1ère chose à faire est d'exprimer pn+1 en fonction de pn :
où je désigne par pn la probabilité d'éviter le nième rocher
coup de pouce : p1 = 0.75

Posté par
caritare : Probabilité 26-11-19 à 22:34

oublie le "coup de pouce"
avec la démo par récurrence, il n'est plus utile.

Posté par
TitanLastare : Probabilité 26-11-19 à 22:35

Ok mais du coup je fais une recurrence classique ou autre chose ?

Posté par
caritare : Probabilité 26-11-19 à 22:36

exprimer pn+1 en fonction de pn  avant avec de faire ta récurrence.

oui, récurrence classique.

Posté par
caritare : Probabilité 26-11-19 à 22:38

TitanLasta,  je vais devoir couper,
mais je reviendrai t'aider demain.

dis-moi juste si tu sais faire pour exprimer pn+1,
sinon tu serais bloqué pour la suite.

Posté par
TitanLastare : Probabilité 26-11-19 à 22:42

P_{n+1}=\frac{2}{3}+\frac{1}{12}×(\frac{-1}{5})^{n-1}-P_{n}
Est-ce correct ?

Posté par
TitanLastare : Probabilité 26-11-19 à 22:47

Tres bien, vers quelle heure pensez-vous pouvoir m'aider? Comme ça je travaillerai en même temps.

Merci pour ce que vous avez deja fait.. et à demain

Posté par
caritare : Probabilité 26-11-19 à 22:49

tu n'y es pas.

==> pour le moment, tu ne dois pas te servir de cette expression de l'énoncé,
seulement de l'arbre.

conserve les (4) probas conditionnelles,
remplace 0.75 par pn, et donc 0.25 par ...?

puis probas totales
pn+1 = ... en fonction de pn

Posté par
caritare : Probabilité 26-11-19 à 22:50

envoie un petit message quand tu seras prêt à continuer demain,
je serai avertie, et viendrai dès que possible.

bonne nuit !

Posté par
TitanLastare : Probabilité 26-11-19 à 22:56

Ok pour les probabilités totales... pour le reste je n'ai pas compris. Pouvez-vous me réexpliquer svp

Posté par
TitanLastare : Probabilité 26-11-19 à 22:57

Ok nous verrons ça demain...

Bonne nuit.

Posté par
flightre : Probabilité 27-11-19 à 00:05

salut

pour reprendre la premiere question "sans arbre " et puisque tu a pu trouver le resultat je te donne une autre voie :
on cherche P(nonR1/nonR2)= (P(nonR2/nonR1).P(nonR1))/P(nonR2)
or P(nonR2)=P(nonR2/nonR1).P(nonR1)+ P(nonR2/R1).P(R1) =
                               P(nonR2/nonR1).P(nonR1)+(1- P(R2/R1)).P(R1)  or
                                         P(R2/R1)=P(R1R2)/P(R1)=0,05/0,25 =0,2.
alors P(nonR2) = 0,6*0,75 + (1-0,2)*0,25= 0,6*0,75/0,65=0,65
      donc  P(nonR1/nonR2)= (P(nonR2/nonR1).P(nonR1))/P(nonR2)=0,6*0,75 /0,65 =
(6/10)*(75/100)/(65/100)= 9/13
                                    

Posté par
caritare : Probabilité 27-11-19 à 10:18

bonjour à tous,

TitanLasta, pour exprimer pn+1 en fonction de pn, il faut modéliser la situation pour les cas n et n+1 (n1),
i.e. extrapoler à partir de l'étude déjà faite pour le cas n=1,
en prenant garde toutefois à la formulation des phrases (il faut éviter le rocher)

pour généraliser, je pose l'événement  En : "on Evite le rocher à l'étape n"
et sa proba : pn = p(En)

l'arbre s'adapte à partir de celui que tu as fait précédemment, sauf qu'à présent, le 0.75, c'est pn.

ps : tu peux, si tu préfères, raisonner avec l'événement Rn, "touche le rocher n",
(équivalent et A et B que tu as choisis au début pour "toucher")
mais à ce moment-là, il faudra considérer l'événement contraire \bar{R_n} (évite).
comme on veut.
simplement, on choisit une définition de l'événement et la notation de sa proba au départ, et on adapte l'énoncé en fonction des questions posées.

Probabilité
donc
pn = p(En)
pn+1 = p(En+1) = ..... en fonction de pn

puis démo par récurrence.
à toi !

Posté par
TitanLastare : Probabilité 27-11-19 à 11:37

Bonjour,

P_{n}=P(En)
P_{n+1}=P(E_{n+1})=P(En)×P(E_{n+1})+P(Ebarre)×P(E_{n+1})
=P_{n}×0,6+(1-Pn)×0,8 \\ =0,6Pn+0,8-0,8Pn \\ =-0,2Pn+0,8

Estce correct ?

Posté par
caritare : Probabilité 27-11-19 à 11:40

c'est ça.
tu te serviras de cette relation dans ta démo par récurrence.

Posté par
TitanLastare : Probabilité 27-11-19 à 11:43

C'est quoi le rapport avec le relation de l'énoncé. Je l'utilise dans la recurrence ?

Posté par
caritare : Probabilité 27-11-19 à 11:50

2.
tu dois démontrer par récurrence que  p_n = \frac{2}{3}+\frac{1}{12}×(\frac{-1}{5})^{n-1}

dans la partie hérédité, tu utiliseras la relation établie précédemment p_{n+1}=-0,2pn+0,8

montre ta rédaction (bien soignée) de la démo si tu as des difficultés.

Posté par
caritare : Probabilité 27-11-19 à 11:51

je m'absente par intermittence, mais je reviens te lire.

Posté par
TitanLastare : Probabilité 27-11-19 à 12:21

Montrons par recurrence que pour tout n, n1, la propriété " Pn=\frac{2}{3}+\frac{1}{12}×(\frac{-1}{5})^{n-1}" est vraie.

Initialisation:
Montrons que P(1) est vraie, cest a dire "P_{1}=\frac{2}{3}+\frac{1}{12}×(\frac{-1}{5})^{1-1}"
D'une part: P_{1}= 0,75
D'autre part: \frac{2}{3}+\frac{1}{12}×(\frac{-1}{5})^{1-1}=0,75
Donc P_{1} est vraie

Hérédité: Soit n fixée
Supposons que P_{n} est vraie, soit P_{n}=\frac{2}{3}+\frac{1}{12}×(\frac{-1}{5})^{n-1}
Montrons que P_{n+1} est vraie
Or P_{n+1}=-0,2P_{n}+0,8
P_{n+1}=-0,2(\frac{2}{3}+\frac{1}{12}×(\frac{-1}{5})^{n-1})+0,8
P_{n+1}=\frac{-2}{15}-\frac{1}{60}-\frac{(-1)^{n-1}}{5^n}+0,8
P_{n+1}=-\frac{(-1)^{n-1}}{5^n}+0,65

Je bloque ici..

Posté par
caritare : Probabilité 27-11-19 à 12:32

le début est bon
juste une remarque:  afin de ne pas se mélanger les pinceaux avec P proba et P proposition,
j'aurais appelé par ex S(n) la proposition à démontrer.

initialisation ok

hérédité :
j'ai pour habitude de toujours écrire au départ :
l'hypothèse de récurrence :  Supposons que P_{n} est vraie, soit P_{n}=\frac{2}{3}+\frac{1}{12}×(\frac{-1}{5})^{n-1}

Montrons que :  P_{n+1} est vraie soit ...? et là je formule ce à quoi je dois arriver.
ça aide bien à garder à l'oeil l'objectif à atteindre.

ton erreur est ici :
p_{n+1}=\frac{-2}{15}   \color{red}-  \color{black}\frac{1}{60}-\frac{(-1)^{n-1}}{5^n}+0,8

d'où sort ce signe "moins" ?

et puis pense que -0.2 = -1/5
tu as peut-être intéret à ne pas effectuer toutes les multiplications...

Posté par
caritare : Probabilité 27-11-19 à 12:35

oups, pardon, je corrige :

ton erreur est ici :
p_{n+1}=\frac{-2}{15} -\frac{1}{60} \color{red}-  \color{black}\frac{(-1)^{n-1}}{5^n}+0,8

Posté par
TitanLastare : Probabilité 27-11-19 à 12:47

L'"objectif" c'est bien P_{n+1}=\frac{2}{3}+\frac{1}{12}×(\frac{-1}{5})^{n}

Je peux ne pas développer et laisser 0,2 en facteur ?
Du coup, à part l'erreur de signe, mon hérédité est bonne

Posté par
caritare : Probabilité 27-11-19 à 12:53

l'objectif est de démontrer que la proposition S(n+1) est vraie,
i.e.  p_{n+1}=\frac{2}{3}+\frac{1}{12}×(\frac{-1}{5})^{n} --- oui

Du coup, à part l'erreur de signe, mon hérédité est bonne
elle sera 'bonne' quand tu arriveras à l'expression exacte précédemment énoncée.

pour le moment tu en es à p_{n+1}=-\frac{(-1)^{n-1}}{5^n}+0,65

Posté par
caritare : Probabilité 27-11-19 à 12:54

reprends à partir de

P_{n+1}=-0,2(\frac{2}{3}+\frac{1}{12}×(\frac{-1}{5})^{n-1})+0,8

P_{n+1}=....

Posté par
TitanLastare : Probabilité 27-11-19 à 13:16

-0,2×\frac{2}{3}+(-0,2)×\frac{1}{12}+(-0,2)×\frac{(-1)^{n-1}}{5^n}+0,8
=-\frac{2}{15}-\frac{1}{60}-\frac{1}{5}×\frac{(-1)^{n-1}}{5^{n-1}}+0,8
=-\frac{2}{15}-\frac{1}{60}-\frac{(-1)^{n-1}}{5^n}+0,8

J'ai beau refaire le calculs plusieurs fois, je ne vois pas la faute. Je retombe toujours sur le meme resultat

Posté par
TitanLastare : Probabilité 27-11-19 à 13:44

Je retente j'ai peut etre trouvé..

Posté par
caritare : Probabilité 27-11-19 à 13:57

dans les parenthèses, il n'y a que 2 termes, pas 3.

j'attends ton dernier essai.

Posté par
TitanLastare : Probabilité 27-11-19 à 14:02

J'y suis presque mais je suis bloqué:

P_{n+1}=\frac{2}{3}+\frac{(-1)^{n-1}}{12×5^{n-1}}

Je peux sortir le 1/12 mais j'aurai toujours le n-1. Comment faire ?

Posté par
caritare : Probabilité 27-11-19 à 14:06

p_{n+1}= -0,2 (\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{12}*(\dfrac{-1}{5})^{n-1})+0,8 \\ \\ p_{n+1}=\dfrac{-1}{5}  (\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{12}*(\dfrac{-1}{5})^{n-1})+0,8 \\ \\ p_{n+1}=\dfrac{-1}{5} *\dfrac{2}{3}  + 0.8   +   \dfrac{-1}{5} * \dfrac{1}{12}*(\dfrac{-1}{5})^{n-1} \\ \\ p_{n+1}= \dfrac{2}{3}  +  \dfrac{1}{12} * \color{blue}\dfrac{-1}{5}*(\dfrac{-1}{5})^{n-1} \\ \\ p_{n+1}= \dfrac{2}{3}  +  \dfrac{1}{12} *?

1 2 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !