bonjour, je suis en terminale S et j'ai un DM à faire pour la semaine prochaine mais je n'y arrive pas. Je bloque à la question 1.b). j'ai déjà trouvé X(1)=(1/2)*(1/2)=1/4; Y(1)=(1/2)*(1/2)=1/4 et Z(1)=(1/2)*(1/2)+(1/2)*(1/2)=1/2. et j'ai aussi montrer que X(n+1)=(1/2)Z(n+1) mais jarrive pas a montrer que X(n+1)=(1/4)*Zn. pouvez vous m'aider s'il vous plait?

voici l'énoncé du DM :

Deux joueurs A et B conviennent du jeu suivant, qui se présente comme une succession de 'parties'
- au départ A et B misent chacun 1 euro et lancent chacun une pièce parfaitement équilibrée (c'est-à-dire avec une égale probabilité soit "pile" soit "face");
- si A amène "pile" et B "face",le jeu s'arrête, A gagne et récupère sa mise
- si b amène "pile" et A "face", le jeu s'arrête, B gagne et récupère sa mise;
- dans les autres cas, la partie est nulle, les joueurs doublent la mise et engagent une nouvelle partie.
Et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il y ait un gagnant ou que la vingtième partie s'achève sur un nul (auquel cas les joueurs récupèrent leurs mises respectives)
Pour tout entier n compris en 1 et 20, on considère les évènements :
A(n):"le jeu se termine à la n ième partie par le gain A";
B(n):"le jeu se termine à la n ième partie par le gain B";
N(n):"la n ième partie est une partie nulle".
On pose:
      Xn=la probabilité p(An) de An;
      Yn=la probabilité p(Bn) de Bn;
      Zn=la probabilité p(Nn) de Nn;

1.a)Calculer X1,Y1 et Z1.
  b)Montrer que pour tout n compris entre 1 et 19, on a:
      X(n+1)=(1/4)*Zn; Y(n+1)=(1/4)*Zn ; Z(n+1)=(1/2)*Zn
  c)En déduire que pour n entier compris entre 1 et 20, on a:
     Xn=(1/2)^n+1 ; Yn=(1/2)^(n+1) et Zn= (1/2)^n

2. On considère la variable aléatoire X= "nombre d'euros mis en jeu lors de la partie qui conclut le jeu" (c'est-à-dire récupérés par le gagnant ou partagés entre les joueurs dans le cas où le jeu s'achève sur un nul).
Si le jeu s'achève à la k ième partie, on a ainsi X=2^k
  a)Donner l'expression numérique de la plus grande valeur que peut prendre X
  b)Calculer P(X=2^20)(on pourra remarquer que la 19e partie s'est achevée sur un nul).
  c)Pour k compris entre 1 et 19, exprimer l'évènement "X=2^kn à l'aide des évènements Ak et Bk.
En déduire P(X=2^k).
  d)Calculer l'espérance mathématique de X.

merci d'avance...