Je dois me déconnecter, donc je vous souhaite une bonne nuit, en espérant qu'elle apporte la réponse à mon problème... ^^

A demain!

salut
soit y=ax+b l'equation d'une tangente commune aux deux courbes.

tangente a exp : il existe a dans R tel que :
y=exp(a)*(x-a)+exp(a)

tangente a ln : il existe b dans R+* tel que :
y=(1/b)*(x-b)+ln(b)

donc 1/b=exp(a)
et -1+ln(b)=-a*exp(a)+exp(a)=exp(a)*(1-a)

1/b=exp(a) donc -ln(b)=a
donc -1+ln(b)=(1/b)*(1+ln(b))
donc -b+b*ln(b)=1+ln(b)
donc 0=(1-b)*ln(b)+1+b
on remarque que b=1 n'est pas solution donc on peut diviser par 1-b
donc 0=ln(b)+(1+b)/(1-b)=ln(b)-1 + 2/(1-b)

on etudie la fonction f definie sur R+\{0,1} par :
f(x)=ln(x)-1 +2/(1-x)
f'(x)=1/x + 2/[(1-x)^2]
f'(x)>=0 car x>=0
lim f(x)=-inf
x->0+
lim f(x)=+inf
x->1-
lim f(x)=-inf
x->1+
lim f(x)=+inf
x->+inf

je te laisse faire le tableau de variations de f.
par dichotomie on montre que l'equation f(x)=0 a deux solutions
p et q, p dans ]0,1[ et q dans ]1,+inf[
p=0,21 a 10^-2 pres par defaut
q=4,68 a 10^-2 pres par defaut

conclusion :

Les courbes représentatives des fonctions logarithme et exponentielle admettent-elles des tangentes communes?

la reponse est OUI. elles en admettent 2.
on a deux tangentes ayant la propriete cherchee d'equation :
y=(1/p)*(x-p)+ln(p)
qui est tangente a ln en x=p et tangente a exp en x=-ln(p)

ET

y=(1/q)*(x-q)+ln(q)
qui est tangente a ln en x=q et tangente a exp en x=-ln(q).

a+

le mieux serait de les tracer avec les fonctions ln et exp.