Bonjour
On considéré la fonction f définie sur [0,+infini[ par:
f(x)=
On désigné par c , sa courbe représentative dans le plan rapporté a un repéré orthonormal(o,i,j)
Unité graphique :4cm
Partie A
Étude d une fonction auxiliaire
Soit la fonction g définie sur l intervalle [0,+infini[ par :
g(x)=x+2-e^x
1/Étudier le sens de variation de g sur [0,+infini[ et déterminer la limite de g en + infini
2a/montrer que l équation g(x)=0 admet une solution et une seule dans [0,+infini[
2b/prouver que 1,14<a<1,15
2c/en déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x .
Partie B
Étude de la fonction f et tracé de la courbe C
1a/montrer que, pour tout x appartenant a [0,+ infini[
f'(x)=
b/en déduire le sens de variations de la fonction f sur [0,+infini[.
2a/montrer que pour tout réel positif x.
f(x)=
b/en déduire la limite de f en + infini. Interpréter graphique le résultat trouvé.
3a/établir que
f(a)=1/(a+1)
b/en utilisant l encadrement de a, établi dans la question 2b,donner un encadrement de f(a) d amplitude 10^-2 .
4/déterminer une équation de la tangente T a la courbe c au point d abscisse
5a) établir que , pour tout x appartenant a l intervalle [0,+infini[
f(x)-x=[(x+1)u(x)/(xe^x+1)] avec u(x)=e^x-xe^x-1
b/Étudier le sens de variation de la fonction u sur l intervalle [0,+infini[ .en déduire le signe de u(x)
C/déduire des questions précédentes la position de la courbe c par rapport a la droite (T).
6/tracer C et (T)
Partie c
Calcul d air et étude d une suite
1/déterminer une primitive F de f sur [0,+infini [ .on pourra utiliser l expression de f(x) établi dans la question A-2)
2/on note D le domaine délimite par la courbe c , la tangente (T) et des droites d équations x=0 et x=1
Calculer en cm^3 ,l aire A du domaine D.
3/pour tout entier naturel n ,on pose
Vn=
a/calculer vo ,v1 et v2
On donne les valeurs décimales approchées a 10^-2 de vo,v1 et v2
b/interpréter graphiquement vn
c/montrer que , pour tout n2

En déduire la monotonie de la suite Vn a parti de n=1
d/déterminer la limite de la suite Vn

Réponse
Question 1
g'(x)=1-e^x
Posons g'(x)=0
x=0
Pour x appartenant [0,+infini[ , g'(x)<0, donc g est strictement décroissant sur [0,+infini[.
La limite en + infini
lim g(x)=- infini

Question 2
J ai besoin d aider mais voici ma proposition
g est strictement décroissant sur [0,a[
Pour x appartenant [0,a[
On aura
0<x<a
g(x)>g(a)
g(x)>0
g est strictement décroissant sur [a,1[
X appartenant [a,1[
a<=x
g(a)=>g(x)
Pour x appartenant [0,a[ , g(x)=>0
Et pour x appartenant [a,1[
g(x)<=0