Bonjour
Alors voila j'ai un exercice reprenant un peu de tout à faire , je pense avoir reussi la première partie sauf la 3b et je n'arrive pas a faire les demonstrations par recurrence , pouvez vous m'aidez merci beaucoup.


I) Première partie: Étude d'une fonction f .
On appelle f la fonction définie sur l'intervalle
I = ] - 1/2; + ∞ [ par f(x) = ln (1 + 2x ).
1) Montrer que f est strictement croissante sur l'intervalle I.
2) Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers - 1/2

3) On considère la fonction g définie sur l'intervalle I par
g(x) = f(x) - x.
a. Étudier les variations de g sur l'intervalle I.
b. montrer que l'équation g(x) = 0 admet deux solutions: 0 et une autre, notée $, appartenant à l'intervalle [ 1; 2 ].
c. En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l'intervalle I.
4) montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle ] 0; $[,
f(x) appartient aussi à ] 0;$ [.


II) Seconde partie: Étude d'une suite récurrente.
On appelle (un)n ≥ 0 la suite définie par un+1 = f(un) et u0 = 1.
1)Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un appartient à ] 0;$ [.
2) Démontrer par récurrence que la suite (un)n ≥ 0 est croissante.
3) montrer que la suite (un)n ≥ 0 est convergente.


III) Troisième partie: Recherche de la limite de la suite [un][/n≥ 0]
1) Montrer que pour tout réel x>1, f'(x) ≤2/3
2) Recherche de la limite de la suite
a. Démontrer que pour tout entier naturel n, \int_Un^{$} f(t) dt < 2/3($ - Un)

b. En déduire que pour tout entier naturel n,  $- u_(n+1)< 2/3($-Un)

puis à l'aide d'un raisonnement par récurrence que
0 < $ - Un < (2/3)^n

c. Quelle est la limite de la suite [un][/n ≥ 0] ?

Merci
Hanane